[WIS] Differentiaalvergelijkingenstelsels
 

Ik heb een probleem met de volgende opgave:

Bepaal met behulp van Laplace-transformatie de oplossing van:

d/dt x = (5 3;-6 -4)x +(1;1) met x₀=(1;1)

Hierin is x = (x(t),y(t))
Verder is (5 3;-6 -4) de 2x2 matrix met corresponderende elementen, ";" duidt aan dat er een nieuwe rij begint.

Ik krijg voor de Laplace-getransformeerde van x(t): X(s) = -7/(2s) + 11/(2(s-2)) - 2/(s+1), maar als ik dan terugtransformeer krijg ik niet het goede antwoord, dat is namelijk x(t) = 9/2 * exp(2t) -7/2. (de y-component heb ik niet uitgerekend, ik ging er vanuit dat die ook wel fout zou zijn). Wat doe ik fout?

Laplace getransformeerde van de matrix-vergelijking geeft:
(sX[s] - x[0] ; sY[s] - y[0]) = (5 3;-6 -4)(X[s] ; Y[s]) + (1/s;1/s)

Beginvoorwaarden invullen:
(sX[s] ; sY[s]) = (5 3;-6 -4)(X[s] ; Y[s]) + (1/s ; 1/s)

Wat links staat is te schrijven als een diagonaalmatrix*vector:
(sX[s] ; sY[s]) = (s 0; 0 s)(X[s] ; Y[s])

Hierdoor kan je de matrices in elkaar schuiven:
(s-5 -3; 6 s+4)(X[s] ; Y[s]) = (1+1/s ; 1+1/s)

Je ziet dat de twee rijen aan elkaar gelijk zijn, dus:
(s-5)X[s] - 3Y[s] = 6X[s] + (s+4)Y[s]
Oplossen naar Y[s]:
(s-11)X[s] = (s+7)Y[s]
Y[s] = (s-11)/(s+7) X[s]

Invullen in de eerste rij, en gelijk stellen aan 1+1/s (=(s+1)/s):
(s-5)X[s] - 3(s-11)/(s+7) X[s] = 1 + 1/s
X[s] *( s-5 - (3s-33)/(s+7) ) = 1 + 1/s
X[s] *( (s² - 35 +2s -3s + 33)/(s+7) ) = 1 + 1/s
X[s] *( (s² -s + 2)/(s+7) ) = 1 + 1/s
X[s] *( (s-2)(s+1)/(s+7) ) = (s+1)/s
X[s] = (s+7)/(s(s-2))
X[s] = 1/(s-2) + 7/(s(s-2))

Het kan nog iets mooier, want 1/(s(s-2)) = 1/2( 1/(s-2) -1/s ), waardoor:
X[s] = 1/(s-2) + +7/(2(s-2)) -7/(2s)
X[s] = 9/(2(s-2)) - 7/(2s)

Terugtransformeren geeft inderdaad het goede antwoord voor x[t]. y[t] kan je nu ook wel vinden denk ik. Misschien dat het fout is gegaan bij het oplossen naar X[s]?

Ja, het opstellen van X[s] ging niet goed... ik gebruikte de regel van Cramer maar daar ging blijkbaar iets bij fout.