wiskunde: cosinus/sinusfuncties primitiveren
 

Hoi,
Ben bezig met mijn huiswerk, boek NG/NT5, hfd 2: goniometrische functies. Alleen ik snap heel vaak niet hoe ze bij de primitieve komen. Zo staat er in een voorbeeld:
f(x)=2-2cos3x
F(x)=2x-2/3sin3x + c
Hoe komen ze, bij F(x), dan bij 2/3?? Als je eerst cos3x integreert, krijg je sin3x, en dan nog die 3x integreren, lijkt me.. dus 2/3x^2. Waar blijft die x^2 dan?? Of ben ik heel vreemd aan het denken (waarschijnlijk wel want snap t niet :s :s )
Nog een ander voorbeeld:
g(x)=sin2x
G(x)=-1/2cos2x
Hier heb ik eigenlijk hetzelfde probleem, hoe komen ze dan bij die 1/2?? Hellup!!!

Je gebruikt een soort van kettingregel voor primitiveren, maar de kettingregel bestaat alleen voor differentiëren.

Voor primitiveren bestaan geen echte regels, het enige dat je kunt doen bij een functie f(x), is een functie F(x) zoeken, die als afgeleide f(x) heeft.
Kijk je naar F(x)=2x-2/3sin3x + c, dan is de afgeleide:
[2x]'+[-2/3sin(3x)]'+[c]'
= (2)+(-2/3cos(3x)*[3x]')+(0)
= 2+(-2/3cos(3x)*(3))
=2-2cos(3x)

Zo ook met G(x)=-1/2cos2x+c
g(x)= [-1/2cos(2x)]'+[c]'
= (-(-1/2sin(2x)*[2x]')+(0)
= 1/2sin(2x)*(2)
= sin(2x)

Laat g(x)=2*cos(3*x) de functie zijn waarvan je de primitieve G wilt weten, dan geldt: G'(x)=g(x)=2*cos(3*x). G is dus een functie met voorschrift G(x)=p*sin(3*x). Met behulp van de kettingregel geeft dit: G'(x)=3*p*cos(3*x), dus 3*p=2, dus p=2/3.

Er geldt: G'(x)=g(x)=sin(2*x). G is dus een functie met voorschrift G(x)=p*cos(2*x). Met behulp van de kettingregel geeft dit: G'(x)=-2*p*sin(2*x), dus -2*p=1, dus p=-1/2.
Voor de primitieve van sin(a*x+b) vind je zo de waarde -1/a*cos(a*x+b) en voor de primitieve van cos(a*x+b) vind je zo de waarde 1/a*sin(a*x+b).
Algemeen geldt: als f(x) een standaardfunctie is met primitieve F(x), dan heeft g(x)=f(a*x+b) de primitieve G(x)=1/a*F(a*x+b).

Bedankt, allebei! Ik snap het nu een stuk beter.
Maar stel nu dat je (sin2x)^2 moet integreren, kan je dat dan gelijk doen, of moet je het eerst dan herleiden, en zo ja hoe doe je dat dan?

Met het risico dingen erg overzichtelijk te maken kan je het ook nog doen met substitutie.
(S is een integraalteken)

g(x) = sin(2x)
stel: u=2x dan:
du/dx = 2
dx = du/2
g(x) = sin(u)

G(x) = S g(x) dx = S sin(2x) dx
2x vervangen door u en dx vervangen door du/2:
G(x) = S sin(u) du/2
de /2 voor de integraal zetten:
G(x) = 1/2*S sin(u) du = 1/2 cos(u)
u invullen als 2x:
G(x) = 1/2 cos(2x)

(sin(2x))^2 = 1 - (cos(2x))^2 = 1/2 - 1/2cos(4x) dit is met de dingen die we eerder zeiden te primitiveren tot:
1/2*x - 1/8*sin(4x)

het staat gewoon in het boek hoe je aan de primitieve kan komen.