Periodieke breuken
 

Ik heb een dringende vraag over periodieke breuken

Kun je aantonen dat elke breuk die niet eindig is, zeker periodiek is, dus niet zoals √2 achter de komma altijd weer cijfers geeft zonder regelmaat.

Wat is een periodieke breuk?

Je bedoelt: de decimale ontwikkeling van een breuk is periodiek, als deze oneindig veel getallen kent (en anders kun je zeggen dat er oneindig veel 0'en achter komen, dus ook periodiek..)
Je kunt een staartdeling maken:
Als je een getal 1/b hebt, dan kun je met een staartdeling 1 door b delen. Je houdt dan steeds een rest over die tussen 0 en b-1 ligt. Omdat dit een eindig aantal is (namelijk b), zul je op een gegeven moment een rest tegen komen die je al hebt gehad.

Voorbeeld: 1/7
7/1,00000...\0,142857...
1--0
7
_________
3--0
28
__________
2--0
14
___________
6--0
56
___________
4--0
35
___________
5--0
49
___________
1 (deze heb je al gehad, dus gaat dit steeds zo door)


In het algemeen:
heb je een getal a/b, dan wordt het periodieke gedeelte van de decimale ontwikkeling van 1/b met a vermenigvuldigd. Hierdoor blijft deze periodiek.

Ik geloof dat ik het niet helemaal begrijp. Maar ik weet wel hoe ik met staartdelingen periodes moet bereken etc.
Maar voor mijn PO wiskunde moet ik weten of ik kan aantonen dat alle breuken die NIET eindig zijn (dus geen periode hebben) zowiezo periodiek zijn of dat er breuken zijn die net als de wortel van 2 alleen maar willekeurige cijfers achter de komma hebben? En hoe ik dit dus kan aantonen.

(Misschien is dit wel wat je me net probeerde uit te leggen maar ik wordt er niet veel wijzer van :bloos: )

Dat "truukje" met die staartdelingen kun je voor elke breuk gebruiken, want je kunt elke breuk schrijven als a/b met a en b gehele getallen. Bij elke breuk kom je dus uiteindelijk een periodiek herhalend gedeelte tegen (eventueel allemaal nullen, zoals bij 1/2=0,500000...).

Dat dit niet het geval is bij de wortel uit twee, heeft er mee te maken dat dit getal niet te schrijven is als een breuk a/b.
Bewijs hiervoor:
Stel, je hebt een vereenvoudigde breuk a/b (je kunt a en b dus niet nog door een zelfde getal delen), gelijk aan sqrt(2):
sqrt(2)=a/b
dan geldt:
2=a²/b²
2*b²=a²
Dit betekent dus dat a² deelbaar is door 2 en dus even is.
Als a² even is, is a ook even (a²=a*a. als a oneven zou zijn, dan a*a ook. a moet dus wel even zijn).

Dit betekent dat a² deelbaar is door 4 (a is deelbaar door 2, dus a=2*n voor een bepaald getal n. Dan a²=(2*n)*(2*n)=4*n², dus een viervoud).

Maar dit betekent dat b²=a²/2 ook even is (a² was gelijk aan 4*n², dus b²=a²/2=2*n²)

Maar dan b ook even (zelfde reden als eerder bij a)

Gevolg: a en b allebei even, dus is a/b geen vereenvoudigde breuk (je kunt teller en noemer door 2 delen).
Je hebt een tegenspraak afgeleid uit de aanname, dus is de aanname "Stel, je hebt een vereenvoudigde breuk a/b, gelijk aan sqrt(2)" niet waar.
Sqrt(2) is dus niet als breuk te schrijven.

Dus als ik het goed begrijp:
Is heeft een breuk met een eindig getal in de noemer (de noemer is altijd eindig) nooit alleen maar willekeurige cijfers achter de komma en deze heeft dus altijd een periode, lang of kort.

Alleen nu raak ik de weg kwijt bij het bewijs wat je ervoor gaf, sqrt (2) (is afgeleid van sqrt (a) neem ik aan, dus a=2?) bedoel je hiermee een getal als de wortel van 2? En waarom is b ook deelbaar door 2? verder begrijp ik het nu wel, bedankt!

Het is een bewijs om aan te tonen dat wortel(2) irrationaal is en bijgevolg niet kan geschreven worden als een breuk a/b. Het is een zogenaamd bewijs "uit het ongerijmde": we veronderstellen eerst dat het wél kan (dus wortel(2) = a/b), werken er dan mee verder en komen tot de vaststelling dat onze veronderstelling fout was.

Oke het is nu wel duidelijk denk ik zal het nog eens goed doorlezen

maaar wat ik nu nog niet begrijp is
√2 = a/b
en waarom er dan geldt
2=a^2/b2
2xb2=a2

Je kwadrateert beide zijden van het =-teken. Er geldt sqrt(2)² = 2 en (a/b)² = a²/b².

maar waarom geldt dan naast
2= a²/b²
ook:
2xb²=a² ?

laat maar hangen snap m al, vergelijken met 3 = 6/2 tog

2 = a²/b²

-> vermenigvuldig nu beide leden met b²

2 * b² = a²/b² * b²
2b² = a²

Oke en dan het laatste kleine vraagje

waarom geldt

b²=a²/2

We waren net geëindigd bij 2b² = a². Deel nu beide leden door 2.