rij van Fibonacci
 

Ho,

Hoe los je met de rij van FIbonacci deze vragen op?


1 - Een spin klimt elke dag een vaste afstand van 30 cm omhoog langs een muur van 2,40 m hoog, maar glijdt 's nachts weer 20 cm terug. Hoe lang duurt het voordat de spin de hele muur heeft beklommen?
2 - Een hond waarvan de snelheid éénparig toeneemt achtervolgt een haas waarvan de snelheid eveneens éénparig toeneemt. Hoe lang duurt het voordat de hond de haas heeft ingehaald?
3 - Bereken hoeveel geld twee mensen hebben nadat ze een bepaalde hoeveelheid hebben uitgewisseld en de verhoudingsgewijze toename of afname gegeven is.

Bedankt alvast :)

Je weet dat de spin iedere dag 30 cm omhoogklimt en ''s nachts weer 20 cm terugglijdt. De eerste dag bereikt de spin dus een hoogte van 30 cm-20 cm=10 cm. De tweede dag is de bereikte hoogte 10 cm+30 cm-20 cm=40 cm-20 cm=20 cm. Je kunt nu afleiden dat de spin op de n-de dag een hoogte van 10*n cm bereikt. Na 21 dagen heeft de spin een hoogte van 210 cm bereikt. Nadat de spin dan weer 30 cm klimt wordt 240 cm, de hoogte van de muur bereikt, dus in totaal doet de spin er 21+1 dagen=22 dagen over om de muur te beklimmen.
Noem de beginsnelheid van de hond v₁ en noem de beginsnelheid van de haas v₂. Na t seconden heeft de hond een snelheid t*v₁ en heeft de haas een snelheid t*v₂. De gemiddelde snelheid van de hond is dan 1/2*t*v₁ en die van de haas is 1/2*t*v₂. De hond heeft na t seconden dan t*1/2*t*v₁ m=1/2*v₁*t² m afgelegd en de haas t*1/2*t*v₂ m=1/2*v₂*t² m. Neem aan dat de haas een voorsprong van s meter had op t=0, dan heeft de haas na t seconden dus s+1/2*v₂*t² m afgelegd. Als de hond de haas dan inhaalt moet dus gelden: 1/2*v₁*t²=s+1/2*v₂*t², dus s=1/2*t²(v₁-v₂), dus 2*s=(v₁-v₂)t², dus t²=(v₁-v₂)/(2*s), dus t=sqrt[(v₁-v₂)/(2*s)] s.

Laat de een een bedrag K₁ hebben, waarvan steeds p₁ % aan de tweede persoon wordt gegeven, en laat de tweede persoon een bedrag K₂ hebben, waarvan steeds p₂ % aan de eerste persoon wordt gegeven. Na de eerste keer heeft de eerste persoon een bedrag van K₁-p₁*K₁/100+p₂*K₂/100
=(K₁(100-p₁)+p₂*K₂)/100. De tweede persoon heeft dan een bedrag van (K₂(100-p₂)+p₁*K₁)/100. Je kunt nu afleiden dat de eerste persoon na n keer een bedrag van (K₁(100-n*p₁)+n*p₂*K₂)/100 heeft, en dat de tweede persoon dan een bedrag van (K₂(100-n*p₂)+n*p₁*K₁)/100 heeft.

Het is 22 dagen volgens mij.
Hij klimt per etmaal 10 cm. Dus na 21 dagen zit hij op 2.10 meter. En dan de volgende dag 30 cm erbij, en dan is hij er.

Ik heb het inmiddels gecorrigeerd.