Differentiaalvergelijkingen
 

Hoi,
Ik moet zelfstandig dit onderwerp doen maar ik kom eventjes niet helemaal uit deze opgave. Kunnen jullie me helpen?
Gegeven is het model:
N'(t) = 0,3 * N(t) * (1- N(t)/600)
De maximale waarde van N(t) = 600.
Wat is de maximale waarde van N'(t) en welke waarde van N(t) hoort hierbij?
Voor welke waarden van N(t) uit het model volgt dat N'(t) = 0?

Leg uit waarom je met een differnetiaalvergelijking niet direct N(t) en N'(t) kunt berekenen als je t weet.

De maximale waarde van N'(t) vind je door N''(t) = 0 op te lossen naar N'(t).

Citaat:

Voor welke waarden van N(t) uit het model volgt dat N'(t) = 0?

Hiervoor moet je die vergelijking oplossen naar N(t).

Citaat:

Leg uit waarom je met een differnetiaalvergelijking niet direct N(t) en N'(t) kunt berekenen als je t weet.

Dat kan in hele zeldzame gevallen wel, bijvoorbeeld:

N'(t) = N(t) levert N(t) = A*e^t met A een constante.

De meeste differentiaalvergelijkingen zijn echter niet exact op te lossen. Of dat voor deze vergelijking ook geldt weet ik niet. Ik weet de oplossing in elk geval niet want het is een vrij lastige vergelijking die niet-lineair is.

Zo lastig is het nu ook weer niet, je kan de veranderlijken immers scheiden.

http://td-hosting.com/wisfaq/td_151.gif

Ah ja, scheiden van variabelen. :)

Oke, dit is wel wat ik dacht, maar het lukt me niet om de functie van N'' (t) te vinden..

Gewoon met kettingregel:

N'(t) = 0,3 * N(t) * (1- N(t)/600)
N''(t) = d/dt [0,3 * N(t) * (1- N(t)/600)]
= 0,3N'(t)(1-N(t)/600) - 0,3N(t)*N'(t)/600.

Oke, nu zit ik weer met een nieuw probleempje :S
Gegeven is de differntiaalvergelijking dy/dt = cy
1.Bereken c als de functie y(t)=1,5^t een oplossing is
2.Bereken c als de functie y(t)=e^1,5t een oplossing is
3. Geef een oplossing als c=1
4. Geef een oplossing als c=1 en y(0)=5

Ik dacht:
1 c=ln1,5
2 c=1,5

maar zal wel niet kloppen... 3 en 4 snap ik zoiezo niet

Je antwoorden voor 1 en 2 zijn juist.

Ik neem aan dat je 3 en 4 niet moet vinden door de DV effectief op te lossen, maar eerder door gebruik te maken van wat je net gevonden hebt. Als e^(1.5t) een oplossing was voor c = 1.5, wat zou dan een oplossing zijn voor c = 1?

Probeer even verder.

1 en 2 zijn juist:
dy/dt=c*y, met y(t)=1,5^t:
de afgeleide van y naar t is dy/dt=ln(1,5)*1,5^t=ln(1,5)*y
=> c=ln(1,5)

dy/dt=c*y, met y(t)=e^(1,5t)
afgeleide van y naar t is dy/dt=1,5*e^(1,5t)=1,5*y
=> c=1,5

oplossing als c=1:
laten we voor het gemak dy/dt even y' noemen:
y'=y. Een voorbeeld hiervan is bijvoorbeeld e^t, maar omdat je bij d de differentiaalvergelijking toch op moet lossen, doe ik het nu maar meteen:
y'=y, dus y'/y=1
als je de kettingregel kent, weet je dat y'/y de afgeleide is van
ln( y).
Links en rechts primitiveren levert dus:
ln( y)=t+a, met a een constante.
e^ln( y)=e^(t+a)
y=e^(t+a)=b*e^t, met b een constante (gelijk aan e^a).

Alle oplossingen voor y zijn dus van de vorm y=b*e^t
Als je de oplossing wilt weten waarbij y(0)=5, moet je de volgende vergelijking oplossen:
5=b*e^0, oftewel b=5 (e^0=1)
de gevraagde y is dus y=5*e^t