Primitiveren
 

Ik ben nu in het hoofdstuk 'primitiveren' beland met wiskunde en ik snap er niks van.

Bijvoorbeeld:
Primitiveer h(x)=5*log(2x)

Ik weet dat ik de regel f(x)=^glog(x) geeft F(x)=1/(ln(g)) * (x ln(x) - x) + c

Maar dan nog snap ik het niet. Is er iemand die me kan helpen en stapje voor stapje kan uitleggen hoe ik aan het goede antwoord kom?

Omschrijven naar natuurlijke logaritme, en gebruik maken van de primitieve van de ln (x), die is:

x*ln(x) - x

Opvallend is dat je het grondtal van de log niet noemt en dat is wel belangrijk.
Ga eerst uit van f(x)=ln(x). De primitieve is F(x)=xln(x)-x+C.
(Ik hoop dat dit bekend is en anders is het gemakkelijk na te gaan door F(x) te differentiëren)
Nu is log[a](x)=ln(x)/ln(a), a is hier het grondtal die aan alle eisen voldoet!
In je opgave is de constante 5 'van geen belang' voor de primitieve.
log[a](2x)=ln(2x)/ln(a)=(ln(2)+ln(x))/lna= ln(2)/ln(a)+ln(x)/ln(a),
De eerste term ln(2)/ln(a) is een constante, het gaat dus om ln(x)/ln(a)=1/ln(a)*ln(x) en de factor 1/ln(a) is hier weer een constante.
Hoe ga je nu om met constante termen en met constante factoren bij primitiveren???
Denk bv aan f(x)=5+x² de primitieve is 5x+1/3*x³+C (deze 5 is een term)
Denk aan f(x)=5x², de primitieve is 5/3*x³+C (deze 5 is een factor)
We krijgen dus met f(x)=5log[a](2x) als primitieve
F(x)=5(ln(2)/ln(a)*x+1/ln(a)(xln(x)-x)).

Opm: dit ziet er aardig ingewikkeld uit maar als je goed leert kijken is dit simpel!!!
Schrijf dit zorgvuldig uit met gebruikmaking van 'horizontale' breukstrepen.
Weet je nu wat 'termen' en 'factoren' zijn?

Succes

je hebt de functie log(2x)

we leggen even een handje op '2x' en vervangen dit door u. De primitieven log u wordt:

1/ln10 * (u * ln u - u) + c

maar u was 2x dus krijgen we:

1/ln10 * (2x * ln 2x - 2x)

Om te controleren of dat klopt, differentieren we bovenstaande functie:

1/ln 10 * (2x * ln 2x - 2x) -->1/ln 10 * ( 2 * ln 2x + 2x * 1/(2x) * 2 - 2)

--> 1/ln 10 * 2 * ln 2x = 2 * log 2x

we hebben echter de functie log 2x, dus moet er nog een factor 1/2 voor de primitieve komen.

--> de primitieve wordt dan, inclusief de factor 5:

5 * de primitieve van log (2x)

=

5 * 1 / ln10 * (2x * ln 2x - 2x) + c

=

5/ln 10 * (2x * ln 2x - 2x) + c