Meetkundige plaats
 

Als huistaak kreeg ik volgende oefening:

We beschouwen in een georthonormeerd assenstelsel de parabool P:y²=4x en nemen op de Y-as een punt p(0,3). Door de oorsprong o nemen we een veranderlijke rechte A die de parabool snijdt in een tweede punt r. Van het lijnstuk [or] nemen we het midden m. Door dit midden trekken we de reste S evenwijdig met X. Verder trekken we door p de loodlijn L op de rechte A. Deze rechte A snijdt de rechte S. Bepaal nu de meetkundige plaats van dit snijpunt (we laten A dus ronddraaien door de oosprong).

Ik heb alles gevonden, behalve de meetkundige plaats. Iemand die me kan helpen?

Alvast bedankt,

Laat de rechte a gegeven zijn door de vergelijking y=a*x. Het snijpunt R van a met P vinden we uit de vergelijkingen y²=4*x en y=a*x, dus er moet gelden: a²*x²=4*x, dus a²*x²-4*x=x(a*x-4)=0, dus x=0 of a*x-4=0, dus x=0 of x=4/a. Voor x=0 vinden we: R=0. Voor x=4/a vinden we: y=4, dus R=(4/a,4). Voor het punt M vinden we dan: M=(2/a,2). De rechte S door M en evenwijdig aan de X-as wordt dan gegeven door y=2.
We zoeken nu een rechte l die door P gaat, loodrecht op a staat en door S gaat. Omdat l loodrecht op a staat heeft l de richtingscoëfficiënt -1/a. Dit geeft de vergelijking y=-1/a*x+b. Omdat l door S gaat geldt: y=2, dus 2=-1/a*x+b, dus -1/a*x=2-b, dus x=-2*a+a*b=a(b-2). Omdat l door P gaat geldt: y²=4*x, dus (2-b)²=4*a*b-8*a, dus 4-4*b+b²=4*a*b-8*a, dus b²-4*b(1+a)+4-8*a=0. Voor D=16(1+a)²-16+32*a<0 heeft deze vergelijking in b geen oplossingen. Uitwerken van D geeft: 16+32*a+16*a²-16+32*a=16*a²+64*a=16*a(a+4). D<0 geeft dan: 16*a(a+4)<0, dus voor -4<a<0 heeft b²-4*b(1+a)+4-8*a=0 geen oplossingen. D=0 geeft: a=0 of a=-4. Voor a=-4 vinden we dan: b=-12/2=-6 en x=-4*-8=32, dus dat geeft het punt (32,2). D>0 geeft: 16*a(a+4)>0, dus a<-4 of a>0 en b=[-4(1+a)-sqrt(16*a(a+4))]/2=-2(1+a)-2*sqrt(a(a+4)) of b=[-4(1+a)+sqrt(16*a(a+4))]/2=-2(1+a)+2*sqrt(a(a+4)). Voor b=-2(1+a)-2*sqrt(a(a+4)) vinden we: x=a(-2(1+a)-2*sqrt(a(a+4))-2)=a[-4-2*a-2*sqrt(a(a+4))]
=-2*a²-2*a(sqrt(a(a+4))+2), dus dat geeft het punt (-2*a²-2*a(sqrt(a(a+4))+2),2). Voor b=-2(1+a)+2*sqrt(a(a+4)) vinden we: x=a(-2(1+a)+2*sqrt(a(a+4))-2)=a[-4-2*a+2*sqrt(a(a+4))]
=-2*a²+2*a(sqrt(a(a+4))-2), dus dat geeft het punt (-2*a²+2*a(sqrt(a(a+4))-2),2).
Nog even een opmerking: namen van punten en kegelsneden worden altijd weergegeven met een hoofdletter, en namen van rechten met een kleine letter.

@mathfreak
Het spijt me, dat ik 't niet heb nageplozen maar ik denk dat er iets grondig misgaat.

@wp...
Kies een punt r op de par (r²,2r) voor alle reële getallen is dit een punt op de geg par. (Ga dat na!)
De lijn A heeft de verg y=2/r*x met r≠0.
De lijn M heeft de verg y=r
De lijn L heeft de verg y=-r/2*x +3. (begrijp je deze verg)
We zoeken het snijpunt van M en L (en nu komt het!) elimineer r uit het stelsel M en L, dit geeft y=-y/2*x+3 of 2y=-xy+6 of
y(x+2)=6, dus V: y=6/(x+2) met x≠-2.
Deze laatste verg stelt de verz van alle snijptn van M en L voor, ofwel de meetkundige plaats van dit snijpunt.
Dit laatste moet je heel rustig overdenken want dat is de moeilijkste stap.

Opm: r=0 geeft geen punt van de gevraagde verz. Ga dat na!
Maar dan kan omdat y=r, y niet gelijk zijn aan 0! En dat klopt met V. Als je r zeer groot neemt (bv 1000000) zal de x-waarde van het snijpunt van M en L steeds dichter bij -2 komen te liggen. Dat geldt ook voor r naar negatief zeer groot. Ga dat na!

Allebei bedankt voor jullie moeite!

Safe, bedankt voor deze uitwerking die er (denk ik) beter uitziet

Je moet wel alles nagaan hoor!
En als er nog vragen zijn, stel ze dan!

Uitkijken, Rutger Kopland schreef al: het is makkelijker een som op te schrijven waarvan het antwoord op nul uitkomt dan 1,96.