[wis] kansen
 

hi iedereen,

ik zit vast in de volgende vragen....hopelijk kunne jullie me helpe??

1e vraag:
n=30
p=0.18
geef de kans op
a. minstens 2, maar hoogstens 10 X succes
b. minder dan 12, maar meer dan 7 keer succes
c. 3, 4 of 5 X succes

wat ik tot nu toe weet is dat minstens kan je zo weer geven:
X > of gelijk aan...verder heb ik hulp nodig!!! :)

2e vraag:

paul beantwoordt 50 vierkeuzevragen!!
Bereken de kans dat het juist beantwoorde vragen minstens 2 maal de standaarddeviatie boven de verwachtingswaarde ligt.

Iemand heeft een idee, hoe ik de antwoord kan vinden!!

Alvast bedankt!!

We hebben hier te maken met een binomiale verdeling met n>20, n*p>5 en n(1-p)>5, dus we mogen deze kansverdeling benaderen met een normale verdeling met verwachtingswaarde n*p=5,4 en standaarddeviatie sqrt(n*p(1-p))=sqrt(5,4*0,82)=sqrt(4,428)=2,1.
Laat X het aantal successen zijn, dan is de gevraagde kans gelijk aan P(2<=X<=10)=fi([10,5-5,4]/2,1)-fi([2,5-5,4]/2,1)
=fi(5,1/2,1)-fi(-3,1/2,1)=fi(2,43)-fi(-1,48)=0,9925-0,0694=0,9231.

In dit geval zoeken we de kans P(8<=X<=11)=fi([11,5-5,4]/2,1)-fi([8,5-5,4]/2,1)
=fi(6,1/2,1)-fi(3,1/2,1)=fi(2,90)-fi(1,48)=0,9981-0,9306=0,0619.

Je hebt dus minstens 3 keer, maar hoogstens 5 keer succes, dus dit is de kans P(3<=X<=5)=fi([5,5-5,4]/2,1)-fi([3,5-5,4]/2,1)
=fi(0,1/2,1)-fi(-1,1/2,1)=fi(0,05)-fi(-0,52)=0,5199-0,3015=0,2184.

De verwachtingswaarde is n*p=50*0,25=12,5 en de standaarddeviatie is sqrt(n*p(1-p))=sqrt(12,5*,075)=sqrt(9,375)=3,06. Het aantal juist beantwoorde vragen moet minstens 12,5+6,12=18,62 zijn, dus we zoeken de kans P(X>=19), ofwel P(19<=X<=50). Ook nu is weer voldaan aan n>20, n*p>5 en n(1-p)>5, dus we mogen deze kansverdeling ook benaderen met een normale verdeling met verwachtingswaarde n*p=12,5 en standaarddeviatie sqrt(n*p(1-p))=3,06. De gevraagde kans is gelijk aan P(19<=X<=50)=fi([50,5-12,5]/3,06)-fi([19,5-12,5]/3,06)
=fi(38/3,06)-fi(7/3,06)=fi(12,4)-fi(2,29)=1,0000-0,9890=0,0109.

oky.....dank je wel!

maar nog een vraagje: p=1/3
n=35
bereken: p(x=3 of x=4)

Ook nu is weer voldaan aan n>20, n*p>5 en n(1-p)>5, dus we mogen deze kansverdeling ook benaderen met een normale verdeling met verwachtingswaarde n*p=35/3=11 2/3 en standaarddeviatie sqrt(n*p(1-p))=sqrt(70/9)=1/3*sqrt(70). De kans P(X=3 of X=4) is gelijk aan P(X=3)+P(X=4)=fi([10 1/2-35]/sqrt(70))-fi([7 1/2-35]/sqrt(70))
+fi(13 1/2-35]/sqrt(70))-fi([10 1/2-35]/sqrt(70))
=fi(13 1/2-35]/sqrt(70))-fi([7 1/2-35]/sqrt(70))
=fi(-2,57)-fi(-3,29)=0,0051-0,0005=0,0046.

hoe zie je dan of het binomaal of een normale verdeling is ?

want die eerste vraag kan toch ook binomaal zijn
n=30
p=0.18
(k=< 10)-(k=<2)

Een binomiale verdeling wordt altijd gegeven door 2 parameters, namelijk n en p, waarbij n het aantal en p de kans op succes voorstelt. Bij de eerste vraag was inderdaad ook sprake van een binomiale verdeling, maar er geldt dat deze met een normale verdeling mag worden benaderd als voldaan is aan de voorwaarden n>20, n*p>5 en n(1-p)>5. Je maakt dan gebruik van een normale verdeling met verwachtingswaarde n*p en standaarddeviatie sqrt(n*p(1-p)). Laat X de binomiale stochast met parameters n en p zijn, dan geldt: P(X<=k)=P(X<=k+1/2), P(X>=k)=P(X>=k-1/2) en P(X=k)=P(k-1/2<=X<=k+1/2). Dit is de zogenaamde continuïteitscorrectie. De kansen P(X<=k+1/2), P(X>=k-1/2) en P(k-1/2<=X<=k+1/2) zijn nu te berekenen met behulp van de formule voor het rekenen met kansen volgens de normale verdeling.

NB dit kan dan met de gr ook met normalcdf(...)/invnorm(...) ?

Als je inderdaad gebruik maakt van de grafische rekenmachine hoef je zelfs niet eens over te schakelen op een normale verdeling, maar kun je gewoon de functies voor de binomiale verdeling toepassen.

ooow ja, natuurlijk. Dus jij berekent het met de normale verdeling zodat je dat uit je hoofd kunt berekenen zeg maar?

Dat klopt. Ik heb gebruik gemaakt van de normale verdeling omdat de gegeven kansen niet in de tabel van de binomiale verdeling vermeld staan.