[WI,B] Lengte van lijnstuk, afgeleide
 

Gegeven zijn de functies f(x) = e^x en g(x) = e-e^(-x + 2).
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.

Nu moet ik algebraisch berekenen voor welke waarde van p het lijnstuk AB minimaal is.

------

e^x = p
x = ln(p)

p = e-e^(-x=2)
p-e = -e^(-x+2)
-p + e = e^(-x+2)
ln(-p+e) = -x+2
ln(-p+e) -2 = -x
-ln(-p+e) +2 = x

Dus:
-ln(-p+e) +2 - ln(p)

Hier moet ik dan de afgeleide van hebben zodat ik deze gelijk kan stellen aan 0.

Nu heb ik 2 vragen; klopt dit zover?
En zo ja, hoe bereken ik hier ook alweer de afgeleide?

voorzover ik zie zijn er geen fouten in wat je tot nu toe hebt.

de afgeleide ga je nu bepalen over p natuurlijk. Je maakt gebruik van de somregel:

-ln (-p+e) wordt dan: -1/(-p+e) * -1 = 1/(-p+e) (let erop dat e gewoon een getal is ;))

-ln p wordt dan: -1/p

somregel toepassen levert dan als afgeleide:

1/(-p+e) - 1/p

en dat moet je glijk stellen aan 0 en daarom moet je de noemers gelijk maken:

(1/(-p+e) * p/p) - ((-p+e) / p(-p+e)) = p/(p(-p+e)) + (p+e) / (p(-p+e))

en dat is gelijk aan:

(2p + e) / (p(-p+e)) = 0

--> 2p + e = 0 --> p = -e/2

@Happyyy
Je hebt dit 'opgelost' voor y=p en niet voor x=p!!!

Volgens het geg gaat het om de lijn x=p dus evenwijdig de y-as!!!
y_A=e^p en y_B=e-e^(-p+2) (y_A is y-waarde punt A)
Noem l(p)(=AB)=e^p-e+e^(-p+2)
(nog wel nagaan af AB positief is, anders het tegengestelde nemen)
...
Antwoord: p=1 en l(1)=e (min lengte AB)

@sdekivit
0<p<e!!!

l(p)(=AB)=e^p-e+e^(-p+2)
Wat is hier de afgeleide van dan?

De afgeleide van de functie f(x)=e^x naar x is f'(x)=e^x. (dit weet je toch wel?)
Dus wordt: l'(p)=e^p-e^(-p+2) (denk aan de kettingregel!)

Bij p= -e/2 komt de lijn toch onder de x-as? Dat kan toch nooit?

@Safe; bedankt ja. Ik was 't even allemaal kwijt, maar ik weet 't weer :)