[Wiskunde] Onbepaalde Integraal
 

hoe bereken ik de integraal van x/x^2+4x+7

ik dacht eerst de noemer schrijven als (x+2)^2+3
en dan t=x+2, maar dan loop ik vast.

x/(x^2+4x+7)=1/2*(2x+4)/(x^2+4x+7)-2/(x^2+4x+7)
Probeer het nu nog eens. Een welke integratiemethoden ken je?

Opm: DENK AAN HAAKJES

zo lukt het mij wel, maar hoe moet ik er op komen om het zo op te schrijven:(
ik ken alleen de substitutie methode

dit was met breuksplitsen? die moet ik nog krijgen

Nee, dit heet geen breuksplitsen
Het gaat erom te zorgen dat de teller afgeleide van de noemer is, vandaar de 2x+4 en omdat er een x in de teller staat kan dat op de manier hierboven, maar dat moet je wel weer in orde maken en dat levert de tweede breuk op.
Maar het is mooi dat het je nu lukt!

Breuksplitsing:
1/(x^2-4)=1/((x-2)(x+2))=.../(x-2)+.../(x+2)
Probeer getallen te vinden in de tellers zo dat het weer klopt.
Op deze wijze kan je dan de onbepaalde integraal van de breuk vinden.

Stel t=x+2, dan geldt: x=t-2, dus dx=d(t-2)=dt en x*dx/(x²+4*x+7)=(t-2)*dt/(t²+3)=t*dt/(t²+3)-2*dt/(t²+3). Voor t*dt/(t²+3) kun je d(1/2*ln(t²+3)) schrijven. Om 2*dt/(t²+3) te bepalen stel je t=u*sqrt(3), dus t²=3*u² en dt=d(u*sqrt(3))=sqrt(3)*du, dus 2*dt/(t²+3)=2*sqrt(3)*du/(3*u²+3)=2/3*sqrt(3)*du/(u²+1)
=2/3*sqrt(3)*d(arctan(u))=2/3*sqrt(3)*d(arctan(1/3*t*sqrt(3))),
dus (t-2)*dt/(t²+3)=d(1/2*ln(t²+3)-2/3*sqrt(3)*arctan(1/3*t*sqrt(3))), dus x*dx/(x²+4*x+7)=d(1/2*ln(x²+4*x+7)-2/3*sqrt(3)*arctan(1/3(x+2)*sqrt(3))), dus de gezochte integraal is 1/2*ln(x²+4*x+7)-2/3*sqrt(3)*arctan(1/3(x+2)*sqrt(3)).