Wiskunde A1 vraagje
 

Victor heeft een nieuwe baan, Hij begint in december 2003 met een bruto maandsalaris van 2500 euro. In zijn contract staat dat dit bedrag elke maand met 12 euro wordt verhoofd.

de formule wordt: Sn= 2500+12n

C: Hoeveel euro ontvangt hij in totaal in de periode tot en met december 2006?

D: In welke maand van welk jaar overtreft het totale salaris voor het eerstde 1 miljoen euro?

Hier kom ik niet uit :s

Hmm mijn antwoordenboek geeft 100492 euro bij de eerste opgave en oktober 2024 bij de tweede.

Maar bij 1 moet je toch sowieso al 2500x36 doen aangezien het een maandsalaris is? Ik weet alleen niet hoe ik die 12 euro die er elke maand bij komt. Of ik moet 12 + 24 +36 doen en dan 36 keer die 12 er bovenop. Maar het lijkt me dat er een makkelijkere manier moet zijn :S Want als je 12 x 36 doet heb je alleen de laatste maand van de drie jaar gedaan. want in maand 1 krijgt hij er 12 euro bij, in maand 2 2x 12 euro enzovoorts tot de 36 maanden

december 2003: 2500 euro (n = 0)
januari 2004: 2500 + 1x12 euro (n = 1)
...
december 2006: 2500 + 36x12 (n = 36) = 2932 euro.

Het is een somrij en de som weten van de eerste 36 termen.
Dat doe je met (als n = 0): S_n = (n+1)a + ½n(n+1)v
a = 2500
v = 12
n = 36

Alles invullen geeft:
S_n = (37*2500) + 18*37*12 = €100.492

S_n moet groter zijn dan 1000000, dus:

(n+1)a + ½n(n+1)v ≥ 1000000

2500n + 2500 + ½n(12n + 12) ≥ 1000000
2500n + 2500 + 6n² + 6n ≥ 1000000
6n² + 2506n + 2500 ≥ 1000000
6n² + 2506n - 997500 ≥ 0

voor het gemak zoeken we op wanneer ie precies 0 moet zijn. Dit is een kwadratische vergelijking, dus de ABC-formule toepassen.

(-2506 ± √(30220036)) / 12
(-2506 + √(30220036)) / 12 ≈ 250 maanden
(-2506 - √(30220036)) / 12 ≈ -666 maanden

De laatste valt af, want hij kan geen negatieve dienstijd hebben.

250/12 ≈ 20,8 jaar.
0.8 jaar komt overeen met met ongeveer 9,5 maand.

Dus na 20 jaar en 9,5 maanden is het totaal meer dan 1 miljoen.

December 2003 + 20 jaar = December 2023
9 maanden verder = halverwege September overtreft het de 1 miljoen.

September 2024 overtreft het het nog niet, In oktober 2024 wel.
Daar is je antwoord. :p