[wi] DV
 

Nieuwe vraag:

Bepaal de Laplace getransformeerde van f(t) = te^2t sin t.

Ik heb m'n fout inmiddels gevonden, ik weet alleen niet wat er fout is.

Dus als iemand kan laten zien hoe ik y'=-y-e^t had moeten oplossen dmv variatie van de constanten ben ik ook weer blij

Je integreert eerst de homogene vergelijking dmv scheiden van veranderlijken en vindt dan: c.e^(-t). Het voorstel tot particuliere oplossing mbv variatie van de constante is dan: c(t).e^(-t).

Substitueren in de DV:

c'(t).e^(-t) = -e^(-t)
c'(t) = -1
c(t) = INT -1 dt = -t

=> y_p = -t.e^(-t)

Samen met de homogene levert dit de volledige oplossing:
y = (c-t)e^(-t)

Je moet de oplossing -e^t aannemen, niet -e^(-t) toch?

Geen van beide, als voorstel (op een constante na die je van t laat afhangen) neem je e^(-t), dus c(t).e^(-t).

Maar als ik het dmv een integratiefactor uitreken komt er het volgende uit:

y'+y=-e^t
y*e^t=int (-e^2t)=-0,5e^2t
y= c2e^t - 0,5e^t

Ik begrijp eerlijkgezegd niet wat je hier doet, een integrerende factor maar dan...?

Wat snap je niet aan de gegeven oplossing, dmv variatie van de constante zoals je vroeg?

Deze stap:
c'(t).e^(-t) = -e^(-t)
moet dat niet:
c'(t).e^(-t) = -e^(t)
zijn?

Je bepaalt een factor I, deze kan je uitrekenen door I=e^(int <b>)
Waarbij b de factor voor de y in de vergelijking is.

Vervolgens kan je stellen dat:
I*y=int (I*-e^t)

En dan los je dan op.

Dat antwoord klopt met het gegeven antwoord.

Ah, dat bedoelde je...
Ik had het eerder niet door, ik heb de opgave opgelost met een minteken in de exponent van het rechterlid. Oops :)

Computerantwoord:

2(s-2)/(1+(s-2)²)²

Of zoek je een uitwerking?

Maak gebruik van de volgende formules: L{e^-a*t*f(t)}=f(s+a) en L(t*f(t))=-f'(s).
De Laplacegetransformeerde van sin(t) is 1/(s²+1), dus met behulp van de eerste formule vind je dan: L{e^2*t*sin(t)}=1/((s-2)²+1), en met behulp van de tweede formule vind je dan: L{t*e^2*t*sin(t)}=2(s-2)/((s-2)²+1).

idd ;)

Maar ik kom nog steeds niet op hetzelfde uit, maar op y= c2e^t - 0,5e^2t
:confused:

Om y'=-y-e^t op te lossen bepaal je eerst de oplossing van de homogene d.v. y'=-y. Dit geeft: ln(y)=-t+c, dus y=C*e^-t. Stel nu y=C(x)*e^-t, dan geldt: y'=C'(x)*e^-t-C(x)*e^-t, dus C'(x)*e^-t-C(x)*e^-t
=-C(x)*e^-t-e^t, dus C'(x)*e^-t=-e^t, dus C'(x)=-e^2*t, dus C(x)=-1/2*-e^2*t+c, dus y=-1/2*e^t+c*e^-t.

Dat laatste stuk volg ik niet.
Ik kom idd ook tot c'= -e^2t en dat integreer ik dan tot -0,5e^2t.

En daarnaast zie ik ook niet hoe je van 0,5e^2t+C naar y=-0,5e^t gaat.

Zou je dat misschien nog kunnen toelichten?

Er geldt: y=C(x)*e^-t en C(x)=-1/2*e^2*t+c, dus y=(-1/2*e^2*t+c)e^-t
=-1/2*e^2*t*e^-t+c*e^-t
=-1/2*e^t+c*e^-t.

ok bedankt :)

Graag gedaan. :)