[Wis] Bewijzen meetkunde
 

Ik heb even twee vraagjes waar ik niet uit kom.

Eerst moest ik bewijzen dat elk punt van de middelloodlijn van lijnstuk AB gelijke afstanden heeft tot A en B. Dat lukte me, maar de b-vraag is 'bewijs dat elk punt dat gelijke afstanden heeft tot A en B, op de middelloodlijn ligt van lijnstuk AB', en dat lukt me dus niet om te bewijzen.

Hetzelfde probleem had ik met de volgende vraag. Het lukte me wel om te bewijzen dat elk punt van de bissectrice van een hoek gelijke afstanden heeft tot de benen van die hoek, maar niet om te bewijzen dat elk punt dat gelijke afstanden heeft tot de benen van een hoek, op de bissectrice van die hoek ligt.

Anyone? :) Alvast bedankt!

ik moet nog ff denken, maar algemene tip: teken het uit.

Hint: begin met een gelijkbenige driehoek ABC, waarin A en B de symmetrische hoeken (de benen dus) zijn en een lijn door C loodrecht op AB. Ik denk dat het bissectrice-bewijs net zo gaat.

Hm.. Maar mijn probleem is dat ik niet weet hoe ik kan bewijzen dat zo'n punt alleen maar op de middelloodlijn (of de bissectrice) ligt. Als je snapt wat ik bedoel :)

Stel PA=PB=r met r>1/2*AB, dan is P op te vatten als een punt op een cirkel met straal r. Je krijgt dan 2 cirkels: een met middelpunt A en straal PA=r, en een met middelpunt B en straal PB=r. Om nu P te vinden doe je het volgende: cirkel uit A en uit B een afstand r>1/2*AB om. Je vindt dan 2 punten P en P' met de eigenschap PA=PB=r en P'A=P'B=r. Uit de constructie volgt verder dat PP' loodrecht staat op AB, en door AB middendoor wordt gedeeld. Dat betekent dat AB en PP' de diagonalen zijn van een ruit met hoekpunten A, B, P en P'. Omdat PP' ook AB middendoor deelt en loodrecht staat op AB, volgt hieruit dat P en P' op de middelloodlijn van AB liggen, wat te bewijzen was.

Laat AOB de gegeven hoek zijn met hoekpunt O en benen OA en OB. Laat Q het snijpunt zijn van OA en de loodlijn uit P op OA, en laat R het snijpunt zijn van OB en de loodlijn uit P op OB, dan geldt: PQ=PR. Dit betekent dat PQR een gelijkbenige driehoek is met benen PQ en PR en tophoek P. Nu ligt Q op de lijn door OA en R op de lijn door OB, dus P moet dan op de bissectrice van AOB liggen omdat voor ieder punt op de bissectrice van AOB geldt dat dit even ver van OA als van OB ligt.