0,9~ = 1
 

Kan iemand mij helpen van het aantonen dat

0,99999 (oneindig 0,9~) = 1

0,9~ = 1

Ik denk dat een solide bewijs iets straffer moet (via Dedekind of Cauchy?), maar het komt erop neer dat er geen enkel getal x bestaat, zodanig dat 0,999...999 < x < 1. Anders gezegd: 0,9999...999 = 1 - a, waar a heel klein is en naar 0 gaat. Bekend is: lim 1-a [a->0] = 1.

Als je een 'oneindig' aantal negens bedoelt dan kan je die uitdrukking beschrijven als de limiet van een sommatie (of direct een oneindige som natuurlijk). Dan geldt:

lim(n->oneindig) ( sum(m = 1:n) 9/10^n ) = 1

Euh ok kan het iets duidelijker :S

We kunnen die 0.999..... schrijven als:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
= 9/10 + 9/10² + 9/10³ + ...

In het algemeen: 9/10^n waarbij n loopt van 1 tot oneindig en je ze allemaal optelt.

Verkort genoteerd met een sommatie en/of limiet zoals hierboven.
Dit is trouwens een meetkundige reeks, de rede van de rij is 1/10.

De som is exact 1.

k bedankt had het daarnet al zelf opgelost :x

had zo gedaan dat

x = 0.9~
10x = 9.9~
10x-x = 9.9~ - 0.9~
9x = 9
x = 1


maar evengoed bedankt

Dat mag (althans om het aannemelijk te maken), maar is wiskundig wat minder 'netjes'.

Ik was een beetje bang omdat ik alleen maar van die 'bewijsjes' zag, totdat 'The real proof' kwam, zoals hierboven.

Netjes, veel meer elementair!

Bedankt, maar dat is een klassieke aanpak (dus niet uit m'n eigen duim gezogen ;))

Je kunt het ook op z'n jan-boerenfluitjes als volgt:

x = 0,999...
x/3 = 0,333... = 1/3
x = 1

Maar dat is vast ook niet zo 'netjes'. ;)

Maar dat is geen bezwaar voor een TN'er :o

;)

Natuurkundigen maken gebruik van wel raardere zaken. Neem bijvoorbeeld de volgende uitkomst:

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

Een sommatie die uiteindelijk een indicatie geeft van het aantal dimensies in bosonische snaartheorie: 26.

En ik was al verbaasd dat de som van 2^n van n=0 tot oneindig uitkomt op (1-2^2)^-1 = -1/3...