Symmetrie gebruiken bij integralen
 

Bij de uitwerkingen van een aantal van mijn quantummechanica opgaven staat 'Gebruik symmetrie', en er wordt geen uitwerking gegeven van de integraal. Kennelijk is dit een of ander truukje, maar ik zie niet helemaal hoe je het moet doen.

Voorbeeld van zo'n integraal: int(2/a*x*(sin(n*Pi*x/a))^2)dx, x=0..a en n is een positief geheel getal. De oplossing zou a/2 moeten zijn.

Zou iemand deze opgave voor me willen uitwerken met behulp van de bedoelde symmetrie 'truc'?

Als er staat, "gebruik symmetrie", dan wordt daarmee gedoeld op oneven/even integranden.

Kies y = x-a/2, dus x = y + a/2
dy = dx

int(2/a*x*sin²(n*Pi*x/a))dx; x=0..a wordt:

int(2/a(y+a/2)sin²(n*pi*(y+a/2)/a))dy; y = -a/2..a/2

Het deel met de y-factor valt eruit omdat dat oneven is, je houdt het even deel over:

int(sin²(n*pi*(y+a/2)/a))dy; y = -a/2..a/2

En die integraal is niet zo moeilijk, lijkt me.