[WIS] vlakken en lijnen
 

Ik ben aan het leren voor mn her en nu stuit ik op de volgende vragen waarop ik geen antwoord kan vinden in mn boek of op internet. Dit is de vraag:

Beschouw in R³ het vlak V door de punten (1,2,2), (-3,2,-1) en (0,1,1) en de lijn l door het punt (1,2,2) loodrecht op het vlak V.

a) Geef een parametervoorstelling van het vlak V
b) Geef een vergelijking van het vlak V
c) Geef een parametervoorstelling van de lijn l.

Kan iemand misschien uitleggen hoe je zo'n opdracht aanpakt?

Voor de parametervoorstelling werk je met richtingsvectoren. Voor een lijn heb je er zo één nodig, voor een vlak twee. Je bekomt een richtingsvector door het verschil te nemen van twee verschillende punten van de lijn resp het vlak.

Laat P1 een punt zijn van het vlak en S en T richtingen, dan is het vlak v gegeven door: v = P + aS + bT met a en b de parameters.
Stel dat S en T niet gegeven zijn, maar 3 punten P1,P2,P3; dan kan je dus richtingsvectoren vormen als S = P2-P1, T = P3-P1, ...

Voor een lijn analoog, maar met slechts één richtingsvector: l = P + aS met S = P2-P1 als er twee punten gegeven zijn.

Als je een richtingsvector U zoekt, loodrecht op het vlak, dan moet deze vector loodrecht op beide richtingen van het vlak staan, bvb S en T. Als je het vectorieel product kent (uitproduct), dan is dit gemakkelijk: U = SxT.

Kan je zo al wat verder?

hmm, ik snap wat je zegt, alleen kan ik het niet toepassen.
S en P heb ik uitgerekend in mijn geval bv: (-4,0,-3) en (-1,-1,-1)
maar hoe nu verder
v = P + aS + bP
maar wat is punt P (in dit geval) en hoe bereken je a en b dan?

P is gewoon een punt, dus dat kan je kiezen.
In mijn voorbeeld zijn a en b de parameters, zoals ik al zei! Als er een parametervergelijking gevraagd is, zullen daar wellicht parameters inzitten ;)

a) Kies s=(1,2,2) als steunvector, dan zijn (-3,2,-1)-(1,2,2)=(-4,0,-3) en (0,1,1)-(1,2,2)=(-1,-1,-1) richtingsvectoren van V. Je mag deze richtingsvectoren met een geschikt getal vermenigvuldigen om ze zo te vereenvoudigen. Vermenigvuldiging met -1 levert dan de richtingsvectoren (4,0,3) en (1,1,1), en voor V vind je dan de parametervoorstelling x=(1,2,2)+s(4,0,3)+t(1,1,1).
b) Als n de normaalvector van V is, dan is de (normaal)vergelijking van V gelijk aan x·n=d, waarbij x·n het inwendig produkt van x en n voorstelt. Stel n=(a,b,c), dan geldt: (a,b,c)·(4,0,3)=0 en (a,b,c)·(1,1,1)=0, dus 4*a+3*c=0 en a+b+c=0. Uit a+b+c=0 volgt: a=-b-c, dus 4(-b-c)+3*c=-4*b-4*c+3*c=0, dus -4*b-c=0, dus c=-4*b. Stel b=1, dan geldt: c=-4 en a=-1-(-4)=-1+4=3, dus n=(3,1,-4). Dit geeft de (normaal)vergelijking (x,y,z)·(3,1,-4)=3*x+y-4*z=d. Invullen van (x,y,z)=(1,2,2) geeft dan: d=3+2-8=-3, dus de (normaal)vergelijking van V is 3*x+y-4*z=-3.
c) Omdat de normaalvector van V loodrecht op V staat, en omdat l loodrecht op V staat, betekent dit dat de richtingsvector van l gelijk is aan de normaalvector van V. Omdat l door (1,2,2) gaat is s=(1,2,2) de steunvector van l, zodat l gegeven wordt door de parametervoorstelling x=(1,2,2)+u(3,1,-4).

thnx _0_

Graag gedaan. :)