DV oplossingen kar vgl r²=x
 

Bij de dv y(t)"-xy(t)=0 hoort de kar vgl r²=x met x<0

Deze heeft dus als oplossing r=sqrt(x)

In het boek zijn ze nogal wisselend qua oplossing. De ene keer gebruiken ze c1*e^rt +c2*te^rt en de andere keer c1*sinh(rt)+c2*cosh(rt).

Wanneer is het nu welke oplossing?

Laten we de d.v. eens nader bekijken. Stel y(t)=e^r*t is een oplossing, dan geldt: y'(t)=r*e^r*t=r*y(t) en y"(t)=r²*e^r*t=r²*y(t), dus r²*y(t)-x*y(t)=y(t)(r²-x)=0, dus y(t)=0 of r²-x=0, dus r²-x=0, dus r=sqrt(x) of r=-sqrt(x). We onderscheiden 2 gevallen: x>0 en x<0. Voor x>0 vinden we de oplossing y(t)=c₁*sinh(t*sqrt(x))+c₂*cosh(t*sqrt(x)).
Stel x<0, dan geldt: x=-u met u>0, dus sqrt(x)=sqrt(-u)=sqrt(i²*u)=i*sqrt(u)=i*sqrt(-x), dus dit geeft de oplossing y(t)=c₁*e^i*t*sqrt(-x)+c₂*e^{-i*t*sqrt(-x)}
=d₁*cos(t*sqrt(-x))+d₂*sin(t*sqrt(-x)).
Je krijgt in de oplossing van een d.v. van de 2e orde alleen een oplossingsterm c*t*e^r*t als de bij de d.v. behorende karakteristieke vergelijking een 2-voudige wortel heeft. Stel dat a*r²+b*r+c=0 de bij de d.v. behorende karakteristieke vergelijking is met D=b²-4*a*c=0, dan heeft deze vergelijking de 2-voudige wortel r=-b/(2*a). Voor D>0 heeft de d.v. de oplossing c₁*sinh(r*t)+c₂*cosh(r*t), en voor D<0 heeft de d.v. de oplossing c₁*e^{Re r*t}*sin(Im r*t)+c₂*e^{Re r*t}*cos(Im r*t).

Misschien helpt het wat om je te realiseren dat cos(x) = cosh(ix) = (1/2)*(exp(ix)+exp(-ix)) en i*sin(x) = sinh(ix) = (1/2i)*(exp(ix)-exp(-ix))

(heb je je ooit afgevraagd waarom de namen van de functies zo op elkaar lijken? ;) )