vergelijking
 

hoe los je x^(1/3) = x^(1/4) exact op, of is dat niet mogelijk?

x^1/3 = x^1/4
Dan geldt ook (tot de twaalfde macht nemen):
x^4 = x^3
x^3 = 1 => x=1
Of: x=0.

De oplossingen van Snees kloppen wel, maar zijn wiskundig niet geheel correct (of dat kreeg ik toch naar mijn oren gesmeten toen ik iets gelijkaardigs gedaan had).

x^1/3 = x^1/4
↔ x⁴ = x³ (beide leden tot de twaalfde macht verheffen inderdaad)

Bij de volgende stap maken we echter een aanname, wat ervoor zorgt dat we twee mogelijkheden moeten nagaan. We gaan beide leden delen door x³, dit mag enkel indien x³ verschillend is van 0 (dit controleren we nadien, want het is ook een mogelijk oplossing).

Mogelijkheid 1: x³ <> 0:
↔ x⁴/x³ = x³/x³
↔ x¹ = 1
↔ x = 1

Mogelijkheid 2: x³ = 0. Nu kan je hiervan al wel zien wat x zou moeten zijn, maar best vereenvoudig je de mogelijkheid, zodat je hem kan toetsen aan de gelijkheid.
x³ = 0
↔ ³√(x³) = ³√(0)
↔ x = 0
In dit geval zou x = 0 zijn, we moeten dit controleren aan de gelijkheid, of dat wel mogelijk is:
0^1/3 = 0^1/4
↔ 0 = 0
en we weten allemaal dat dat wel klopt.

In het totaal zijn er dus 2 oplossingen: {0,1}.

Omdat men vaak vergeet zo'n gevalonderscheid te maken, zou ik vermijden dat je een functie van x wegdeelt als je ook kan ontbinden in factoren.

x⁴ = x³ <=> x⁴ - x³ = 0

Breng een factor x³ buiten haakjes en gebruik dat een product 0 is indien minstens één van de factoren 0 is:

x³(x-1) = 0 <=> x³ = 0 of x-1 = 0.

Uit de eerste factor volgt x = 0 en uit de tweede x = 1.

Hmm, dat is ook waar (en inderdaad wiskundig nóg correcter).

'Triviaal' ;)