[Wis] Integraalrekening
 

De vraag die ik niet snap:

Het gebied ingesloten door de grafiek van de fuchtie "h(x) = 'wortel'(x-1) " , de x-as, de y-as en de lijn "y= 2" wordt gewenteld om de y-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam.

Nou zie ik dus helemaal niet voor me hoe het gebeurd en ook met plotten kom ik er niet uit? Hoe los je dit stap voor stap op?

Alvast bedankt. :)

Geen idee hoe je 'wortel' aangeeft. ;)

Bekijk de wortelfunctie als een parabool in de andere richting, met x als functie van y. Dit geeft y = sqrt(x-1) => y² = x-1 <=> x = y²+1.

De formule voor de inhoud van het omwentelingslichaam bekomen door f(y) om de y-as te laten roteren tussen y = a en y = b is dan:

pi . INT_{(a tot b)} f(y)² dy

Kan je het zo afmaken? De grenzen voor y zijn 0 en 2.

Er is gegeven dat de grafiek van h wordt begrensd door de coördinaatassen. Omdat sqrt(x-1) alleen bestaat voor x-1>=0, dus voor x>=1, zien we dat de grafiek van h in ieder geval geen snijpunt met de Y-as (de lijn x=0) heeft. Voor het snijpunt met de X-as (de lijn y=0) vinden we: sqrt(x-1)=0, dus x-1=0, dus x=1. Dit geeft (1,0) als snijpunt met de X-as.
Omdat de grafiek van h ook wordt begrensd door de lijn y=2 krijgen we, als we de grafiek van h om de Y-as wentelen, te maken met de integratiegrenzen y=0 en y=2. We gaan nu x uitdrukken in y. Uit h(x)=y=sqrt(x-1) volgt: y²=x-1, dus x=h(y)=y²+1. Noem F(y) de primitieve van (h(y))²=(y²+1)²=y⁴+2*y²+1, dan geldt: F(y)=1/5*y⁵+2/3*y³+y, en de inhoud van het omwentelingslichaam is dan pi[F(2)-F(0)]=pi(32/5+16/3+2)=pi(6 2/5+5 1/3+2)=pi(11 11/15+2)=13 11/15*pi.

Oh, ik snap het! :)

Alleen Mathfreak, je antwoord klopt geloof ik niet. :o
Ik krijg eruit: 43,145... * pi (206/15 * pi)

Je antwoord klopt, dat bekom ik ook.

1/5*2^5 + 2/3*2^3 + 2 = 32/5+16/3+2 = 206/15, dan nog maal pi natuurlijk.

Ik heb het inmiddels gecorrigeerd. Nu komt er wel 206/15*pi=13 11/15*pi uit.