complex getal in polaire vorm
 

Ik zie niet wat ik fout doe, hopelijk kan iemand het me duidelijk maken.
Het betreft een opgave uit het boek Calculus; James Stewart (5th edition), Appendix G

Opgave 31:
Find polar forms for zw, z/w, and 1/z by first putting z and w into polar form.

z = 2 sqrt(3) - 2i
w = -1 + i

Uitwerking:
z = 4 [cos (5 Pi / 6) + i sin (5 Pi / 6)]
w = sqrt(2) [cos (3 Pi / 4) + i sin (3 Pi / 4)]

zw = 4 sqrt(2) [cos (19 Pi / 12) + i sin (19 Pi / 12)]

z/w = 2 sqrt(2) [cos ( Pi / 12) + i sin (Pi / 12)]

1/z = 1/4 [cos ( -5Pi / 6) + i sin (-5Pi / 6)]


Het antwoord moet zijn:
zw = 4 sqrt(2) [cos (7 Pi / 12) + i sin (7 Pi / 12)]
z/w = 2 sqrt(2) [cos ( 13Pi / 12) + i sin (13Pi / 12)]
1/z = 1/4 [cos ( Pi / 6) + i sin (Pi / 6)]


Alvast bedankt voor de hulp,

Het lijkt me goed! Maar ik zal het nog narekenen.

Je weet hoe je dat systematisch aanpakt?

|z| = 4
Stel arg z = q, dan
cos q = 2sqrt(3)/4 = sqrt(3)/2 -> q=pi/6 of q=-pi/6
sin q = -2/4 = -1/2 -> q=-pi/6 of q=7pi/6
dus arg z = -pi/6

(Hoe je aan arg z = 5pi/6 komt...?)

Stel, we kiezen 1/z.
arg 1/z = -arg z = pi/6
|1/z| = 1/|z| = 1/4
1/z = 1/4*[cos pi/6 + i*sin pi/6]

Voor w en zw, z/w analoog.
De termen +k2pi heb ik weggelaten, die zijn hiervoor niet echt interessant.

hier ging het dus fout (zoals hierboven al gezegd is). Je ziet dat 2sqrt(3) positief is, dus moet 4 · cos(5 Pi / 6) ook positief zijn. Zoals je vast wel weet ligt 5 Pi/6 in het 2e kwadrant, en daar is de cosinus (de x- coordinaat) altijd negatief, dus zo weet je dat je ergens een foutje hebt gemaakt.

Ja, ik zie het.

Bedankt voor de hulp