matrix opstellen
 

http://img.photobucket.com/albums/v2...e/Matrices.jpg

Ik weet hoe je van afb. 1 (gewone spiegeling) de matrix opstelt (mbv de spiegellijn en een loodrechte lijn daar op die begint bij (10,0), het spiegelbeeld daarvan delen door 10 zodat je het spiegelbeeld van (1,0) krijgt (en de matrix van (0,1))

Maar kan iemand mij misschien uit leggen dmv van welke handelingen in de matrix van afb. 2 (draaing) afb. 3 (vergroting) en afb. 4 (elliptische vervorming) kan vinden?

Ik zou zeggen voor vergroting:
met k > 1. Dus x -> k*x en y -> k*y.

Rotatie is een standaardvoorbeeld, in dat geval over phi = -3*pi/4.
http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

en kan k ook een negatieve waarde aannemen zoals -1? is het dan een verkleining?
en is dit gewoon standaar voor een vergroting? dat wanneer ik het uit een afbeelding als hier boven moet zien af te leiden ik alleen de factor waarmee het vergroot in hoef te vullen voor K?

0 < k < 1 is een verkleining (k=1/2 stuurt x=1 naar x=1/2), k < 0 trek een punt als het ware door de oorsprong. k=-1 stuurt x=3 naar x=-3.
Ik weet trouwens niet wat de officiële terminologie is, ik heb matrixafbeeldingen nauwelijks gehad. En je moet inderdaad de goede waarde voor k vinden, hier is dat volgens mij 3/2.

OKe bedankt.

Ja het is in de afb niet zo goed te zien maar het idd 3/2. Maar voor x en y moet ik een bepaald punt in de driehoek invullen neem ik aan?

De draaing is me in ieder geval duidelijk zo!

Even voor de zekerheid:
Klopt het dat je hier altijd
hebt en je voor de waarden van x & y een punt op de driehoek moet nemen? en door dat de vermenigvuldigen heb je de matrix van de draaing.

Expliciet krijg je:

x' = cos phi*x - sin phi*y
y' = sin phi*x + cos phi*y

Het idee van die matrix is dat die op elk punt (x,y) werkt. Om een transformatie te tekenen kan je dus het best een paar losse punten invullen, al werkt die matrix op de hele afbeelding.

Ok bedankt ik begrijp het nu wel, alleen zit ik nog met dezelfde vraag voor een elliptische vervorming (afb 4) kan iemand mij daarmee helpen?

Het punt (4,4) wordt afgebeeld op (6,6).
Het punt (-4,4) wordt (zo te zien) afgebeeld op (-1.5, 1.5).

Bedenk nu:

1. Het gaat om een lineaire afbeelding.

2. (1,0) = 0.125*(4,4) - 0.125(-4,4)
Kun je nu het beeld van (1,0) uitrekenen?

3. (0,1) = 0.125*(4,4) + 0.125(-4,4)
Kun je nu het beeld van (0,1) uitrekenen?


Kun je nu de gevraagde matrix opschrijven?

waar 0.125*(4,4)? omdat 0,5*0,5=0,125?
En wat moet ik invullen voor (4,4) of (-4,4)?

(4,4) en (-4,4) vormen een basis.
En omdat we de bellden van de beide basisvectoren kennen, ligt daarmee de lineaire afbeelding vast.

Als we de beelden van de standaard-basisvectoren (1,0) en (0,1) zouden kennen, hebben we de matrix. Immers, de kolommen van de matrix bestaan uit de beelden van de (standaard-)basisvectoren.

Als je (4,4) en (-4,4) bij elkaar op telt krijg je (0,8) ; 1/8 daarvan is (0,1), en dat is de tweede (standaard-)basisvector. We kunnen dus nu het beeld van (0,1) uitrekenen.

Als je (4,4) en (-4,4) van elkaar af trekt, krijg je (8,0) ; 1/8 daarvan is (1,0), en dat is de eerste (standaard-)basisvector. We kunnen dus nu het beeld van (1,0) uitrekenen.

-----------------

Overigens:
Het beeld van (-4,4) kan ik niet nauwkeurig aflezen.
Ik denk dat het ( -1 1/2, 1 1/2 ) is.
Maar het zou misschien ook wel ( -1 1/3, 1 1/3 ) kunnen zijn, of ( -1 2/3, 1 2/3 ).

Kom je hierop door de x-coordinaten met elkaar op te tellen/ af te trekken van de x-coordinaten en de y-coordinaten van de y-coordinaten?

(Het beeld is idd (-1½, 1½) als ik hier op mijn blaadje kijk)

Precies.

En in dit geval geldt iets heel bijzonders:
Het is een *lineaire* afbeelding.
En daarom mogen we dat direct met de beelden doen.

Dus bijvoorbeeld:
Het beeld van 1/8 * (4,4) is gelijk aan 1/8 * het beeld van (4,4).
Het beeld van (4,4) + (-4,4) is gelijk aan het beeld van (4,4) + het beeld van (-4,4).
(Daarom kunnnen we de afbeelding volledig beschrijven d.m.v. een matrix.)

er geldt nu dus ook
0,125*(0,1) - 0,125*(1,0)

Als ik de matrix nu wil opstellen lukt dat me nog steeds niet..

|0 1| |4 -4| = |0 -4|
|1 0| |4 4| |4 0|
klopt niet volgens mij..

Het punt (4,4) wordt afgebeeld op (6,6).
Het punt (-4,4) wordt afgebeeld op (-1½,1½).
Laat (x,y) het origineel en (x',y') het beeld zijn, dan geldt:
x'=a*x+b*y
y'=c*x+d*y,
waarbij a, b, c en d de gezochte coëfficiënten van de transformatiematrix voorstellen.
Voor x=4 en y=4 vinden we:
6=4*a+4*b
6=4*c+4*d, ofwel
2*a+2*b=3
2*c+2*d=3.
Voor x=-4 en y=4 vinden we:
-1½=-4*a+4*b
1½=-4*c+4*d, ofwel
-8*a+8*b=-3
-8*c+8*d=3.
Blijkbaar geldt: 2*a+2*b=8*a-8*b, dus -6*a=-10*b, dus b=3/5*a. Tevens geldt: 2*c+2*d=-8*c+8*d, dus 10*c=6*d, dus c=3/5*d.
We vinden dus: 2*a+2*b=3 1/5*a=3, dus 16*a=15, dus a=15/16 en b=3/5*15/16=9/16. Ook vinden we nu: 2*c+2*d=3 1/5*d=3, dus 16*d=15, dus d=15/16 en c=3/5*15/16=9/16.
Dit geeft de transformatiematrix

Je zult eerst het *beeld* van (1,0) moeten bepalen.

En we weten al dat
(1,0) = 1/8 * (4,4) - 1/8 * (-4,4)

Nu geldt dus:

Het beeld van (1,0)

is gelijk aan

het beeld van 1/8 * (4,4)
min
het beeld van 1/8 * (-4,4)

is gelijk aan
1/8 maal het beeld van (4,4)
min
1/8 maal het beeld van (-4,4)


Of met iets minder rekenwerk:


Het beeld van (1,0)

is gelijk aan

1/8 maal
het beeld van (4,4) min (-4,4)

is gelijk aan
1/8 maal
het beeld van (4,4) min het beeld van (-4,4)


Als je dat uitrekent, krijg je als eerste kolom hetzelfde als wat Mathfreak zojuist heeft voorgezegd, maar dan zonder dat je eerst 4 vergelijkingen met 4 onbekenden moet oplossen.


Kun je de tweede kolom nu zelf uitrekenen?

Oke nu kom ik er wel uit denk ik.

nog 1 vraag: een (standaard) transformatiematrix is gewoon:
|a c||x| = |ax cx|
|b d||y| = |by dy|
klopt dat?

Bijna.

De transformatiematrix is het deel met die a, b, c en d.

Als je die matrix loslaat op een vector (wat jij links van het = teken doet), is het resultaat een *vector*, en niet een matrix.
Die vector heeft als x-coordinaat (dus bovenin) ax+cy,
en als y-coordinaat (dus onderin) bx+dy.