limiet
 

Gegeven is de rij un = f(u n-1) en u0 = c met f(x) = (2/√3)xsin(0,1x) met Df = ‹0, 10π›
Neem c = 25 en bereken de exacte waarde van lim un.
Het antwoord moet (20/3) π zijn wie kan mij dit uitleggen?

Ga uit van: er is een 'verdichtingspunt' u en dan moet gelden u=f(u).

Ja dat snap ik, ik weet alleen niet hoe je zoiets exact kan oplossen.

Schrijf het eens op!, en laat zien waar je vastloopt.
Het is ook niet het enige wat je moet doen.

Als de limiet bestaat, dan wordt het verschil tussen twee opeenvolgende termen willekeurig klein. Voor n voldoende groot geldt dus: u(n+1) =~ u(n) maar u(n+1) = f(u(n)) dus los op: f(u(n)) = u(n).

Ok ik heb dit geprobeerd:
(2/√3)xsin(0,1x) = x
(2/√3)sin(0,1x) = 1
sin (0,1x) = .5√3

.5√3 kan toch zowel sin((1/6)pi) als sin((11/6)pi) zijn, tenminste dat volgt uit de exacte-waarden-cirkel. dus hoe moet ik nou verder?

Denk ook nog aan Df = ‹0, 10π›.

Het moet zijn x=10/3Pi+k*20Pi of x=20/3Pi+k*20Pi (beide voldoen aan Df voor k=0).
Welke is het? Heb je een GR?

Het is de tweede, maar kan je ook uitleggen hoe je daar aan komt? Bedankt alvast!

Heb je een GR?

Tik het eerst in op je GR, en laat het apparaat een aantal stappen uittekenen.
Dan zie je alvast wat er gebeurt.



Als je dan later twee (of meer) verschillende uitkomsten krijgt, kun je nog even experimenteren op je GR om te zien in welke gevallen je naar welk punt convergeert.
En dat geeft je waarschijnlijk dan weer een idee over hoe je moet bewijzen dat het door jou gekozen antwoord het juiste antwoord is.

Ja, met die GR kan je het in ieder geval controleren!
Maar wiskundig, moet voor convergentie van de rij voldaan worden aan de eis:
|f'(x1)|<1, hierin is x1 één van de snijptn. Dus moet je nu beide controleren!

Ok bedankt, ik dat stukje van "+k maal 20pi) begreep ik niet omdat we die stof nog niet hebben behandelt maar ik snap de opgave inmiddels wel. Dankjewel.

Heb je de periodieke functies (sin, cos en tan) nog niet gehad? En dan toch deze opgave???

Nog het volgende: er is nog een oplossing nl u=0. Ook deze opl kan je door zo'n (convergente) rij weer bepalen alleen zal je startwaarde dan meer in de buurt van 0 moeten liggen. Bv u0=5.