ln-netje
 

ik had een vraagje

als je hebt f(x)= 1/2x
en je moet de primitieve berekenen met c=0

mijn docent zei: F(x)= 1/2*ln|2x|
Ik zeg: F(x)= 1/2*ln|x|

Ze zei dat allebei kon (als het afleidt kom je trouwens weer op f(x) uit)

Maar 1/2*ln|2x| =/ 1/2*ln|x| ?

Dat hoeft ook niet, als je 1/2x integreert, krijg je inderdaad:

1/2 ln |2x| + C of 1/2 ln |x| + C. Die ln |2x| kan je eventueel vereenvoudigen volgens de rekenregels van logaritmes:

ln |2x| = ln 2 + ln |x|; vermits ln 2 een constante is, mag die bij in de integratieconstante c (bij jouw uitwerking zal die c = ln 2 + h), bij de andere oplossing zal c = h) (met h ook een constante). Daarom ook dat die constante niet vergeten mag worden (want anders klopte er inderdaad iets niet).

danke schön

maar is het dan niet raar dat eigenlijk geldt
F(x)=1/2 ln|2x| +c en F(x)=1/2 ln|x|+c
terwijl
ln|x| =/= ln |2x|
Of is het wel mogelijk dat er twee primitieven kunnen zijn bij 'één functie

C kan je willekeurig kiezen. De primitieve is inderdaad niet uniek, sterker nog, je kan laten zien dat bij elke functie f(x) een oneindig grote verzameling primitieve functies hoort, van de vorm F(x) + C, met C een reëel getal (ofwel C'=0). Differentiëer maar! Het maakt ook niets uit voor de 'fysische' betekenis van de integraal: F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a) - de constante valt eruit bij integreren. Een primitieve voor g(x) = x/2 zou dus best G(x) = x^2 + pi - sin(112) kunnen zijn.

Het is heel goed mogelijk dat een functie meerdere primitieven heeft, ja.
Op dezelfde manier is het mogelijk dat elementaire functies geen elementaire primitieve hebben.

C mag toch ook gewoon complex zijn?

Dat mag vast wel, maar dan heb je het niet meer over reële functies (f: R -> R) en heb je andere analysetechnieken nodig.

Ach, daar doen ingenieurs niet moeilijk over. ;)

Neen, dat is niet raar. Er is ook geen stelling die zegt dat de primitieve van een functie uniek is. Zoals ik reeds zei zijn ze allebei eigenlijk net hetzelfde. Die constante is ook een deel van je primitieve, in veel gevallen mag je die weglaten (c=0 dan), maar dat kan je niet wonder meer zeggen.

1/2 ln |x| + c = 1/2 ln |2x| + d
(met c en d reële constanten, of complexe, zo je zelf wilt, afhankelijk van de functiedefinitie)
1/2 ln |x| + c = 1/2 ln |2x| + d
Je kan stellen: c = 1/2 ln 2 + g (g weer een reële of complexe constante; hierin wordt slechts toegepast dat de optelling van twee getallen intern is in de verzameling R of C, en 1/2 ln g is ook maar een getal in feite), dus krijg je:
1/2 ln |x| + 1/2 ln 2 + g = 1/2 ln |2x| + d
dit kan je dus herschrijven als:
1/2 (ln |x| + ln 2) + g = 1/2 ln |2x| + d
Hierin pas je woals ik hiervoor al zei de rekenregels van logaritmes toe en je krijgt (vermits 2 positief):
1/2 ln |2x| + g = 1/2 ln |2x| + d
Hieruit kan je opmaken dat g = d (vermits de rest wel gelijk is, nu).

Dus net hetzelfde besluit als hiervoor al: de ene constante is gelijk aan de andere plus ln 2. Dus vergeet niet die integratieconstante bij te voegen, anders zou je inderdaad gelijk gehad hebben.

En als extra controle ook steeds: leid ze eens af en je krijgt dan weer de integrand, dat toont aan de je integratie goed was (tenzij je in zowel integratie als in differentiatie toevallig fouten hebt gemaakt die elkaar opheffen).