Complexe getallen
 

Heey, we moeten voor school een paar sommen over complexe getallen maken maar ik snap er nix van. Zou iemand die aub kunnen oplossen (als je er iets vanaf weet):

1c)
|(2 - i)^3|

3:
Teken in het complexe vlak alle getallen z = a + bi waarvoor geldt: (Geef ook toelichting)
_
a: z * z = 25
_
b: z + z = 4
_
c: z - z = 4i

d: Re(z) + Im(z), waarbij Re(z) en Im(z) staan voor het reële resp. het imaginaire deel van z.

-------
6:
Gegeven zijn de volgende complexe getallen: z1 = (-3 + 2i)^3 en z2 = (-6 - 4i) / ((2 + 3i)^2)

a: Bereken Arg (z1) en Arg (z2)
b: Schrijf z1 en z2 met behulp van poolcoördinaten (gebruik radialen)

Laat eens zien hoever je zelf komt, dat helpt je meer dan dat wij hier je sommen gaan zitten maken!

Dit waren de dingen die ik juist -niet- uitkreeg. Let op de sommen als 1c, 5, 7a etc...
Om alles wat ik wel heb hier uit te typen duurt eigenlijk te lang :<

Er geldt: |z³|=|z|³, dus |(2-i)³|=|2-i|³=(sqrt(5))³
=5*sqrt(5).

Stel z=x+y*i, dan geldt: z^*=x-y*i, dus z*z^*=x²+y²=25. Dit stelt een cirkel met middelpunt O en straal 5 voor.

Stel z=x+y*i, dan geldt: z^*=x-y*i, dus z+z^*=2*x=4, dus x=2. Je krijgt dus de lijn x=2 als oplossing.

Stel z=x+y*i, dan geldt: z^*=x-y*i, dus z^*-z=-2*y*i=4*i, dus y=-2. Je krijgt dus de lijn y=-2 als oplossing.

Volgens mij ontbreekt hier nog iets. Als Re(z)+Im(z)=c geeft dat de lijn x+y=c als oplossing.
-------

Er geldt: arg(zⁿ)=n*arg(z) en arg(z₁/z₂)=arg(z₁)-arg(z₂),
dus arg[(-3+2*i)³]=3*arg(-3+2*i)=-1,76
en arg[(-6-4*i)/(2+3*i)²]=arg(-6-4*i)-2*arg(2+3*i)=0,59-1,97
=-1,38
Er geldt: |zⁿ|=|z|ⁿ en |z₁/z₂|=|z₁|/|z₁|, dus |(-3+2*i)³|=|-3+2*i|³
=(sqrt(13))³=13*sqrt(13) en |(-6-4*i)/(2+3*i)²|=|-6-4*i|/|2+3*i|²=2*sqrt(13)/13=2/13*sqrt(13). Het uitdrukken in poolcoördinaten laat ik verder aan jou over.

Ja sorry:
Re(z) + Im(z) = 4 ;)

Dankjewel voor de andere antwoorden :)

Het makkelijkste om met complexe sommen te leren werken is ze te schrijven in de notatie a + bi en eventueel nog te ontbinden zoals voor die derde macht, verder moet je gewoon i² = -1 toepassen en dan kom je er wel.

Voor die eeste heb je dus:

|(2-i)³| = |(2-i)(2-i)(2-i)| = |(4-4i+i²)(2-i)| = |(4-1-4i)(2-i)| = ...

Wat betreft de complex toegevoegde, toegevoegde(z) = toegevoegde(a+bi) = a - bi. z * toegevoegde (z) is de definitie van de norm in C, dat komt er dus inderdaad op neer dat alle complexe getallen die op een afstand 5 van o (0,0) = 0 + 0i liggen hieraan voldoen, wat grafisch inderdaad een cirkel geeft.

Als je complexe getallen niet goed begrijpt kan het naast het gebruiken van de simpele notatie a + bi ook soms handig zijn om de getallen gewoon te tekenen in het complexe vlak. Na een tijdje zal je er wel vertrouwd mee geraken en dan zal je ook merken dat alternatieve notaties als de goniometrische ( z = r(cos t + i sin t) ) of de exponentiële notatie ( z = r e^(it) ) heel handig kunnen zijn voor sommige problemen omdat de rekenregels voor sinussen/cosinussen en machtsverheffingen bij reële getallen ook van toepassing zijn op complexe getallen 9zoals MathFreak trouwens al demonstreert) en dan ben je vertrokken :-)

Als je meer achtergrond wilt, kan je ook eens op WikiPedia kijken, daar valt er ook vrij veel over te vinden.