wiskundig probleempje
 

Ben tegen een probleempje aangekomen bij mijn profielwerkstuk.

Het gaat om een rechthoekige driehoek ABC.

hoek ABC is recht en BC = 1,20

Nou wil ik AC (de schuine zijde) zo groot mogelijk hebben, maar hoek CAB ook zo groot mogelijk, en hoek ABC moet recht blijven.

Als hoek CAB kleiner wordt kan AC dus groter worden, wordt CAB groter dan moet AC dus kleiner worden.

Nou denk ik dat de optimale verhouding tussen deze 2 factoren bij CAB= 45 graden ligt. Maar hoe bewijs ik dit? Ik dacht eerst aan optimaliseren dmv differentiaalrekening, maar welke functie moet ik dan differentieren? Of moet dit op een andere manier?

Het is me duidelijk wat je precies wil maximaliseren. Je wil zowel een grote hoek CAB als een grote lengte AC, en je merkt terecht op dat een grotere hoek leidt tot kleinere AC. Maar je moet dan wel kwantificeren wat je precies wil maximaliseren. Het product van de hoek en AC? Of is de een 'belangrijker' dan de ander? (maak dit dan kwantitatief d.m.v. een weging)

Je zult even iets beter moeten aangeven wat je precies wilt!


Je wilt AC zo groot mogelijk hebben, en hoek CAB ook.

Echter:
- Naarmate AC groter wordt, wordt CAB kleiner.
- Naarmate CAB groter wordt, wordt AC kleiner.


ALs je een "optimale" verhouding zoekt, zul je eerst moeten vertellen wat jij "optimaal" vindt.

Je zult dus eerst een of andere "waarderingsfunctie" moeten opstellen.
Noem hem bijvoorbeeld f(AC, hoek CAB)

-----------

Als je die waarderingsfunctie eenmaal hebt opgesteld, kun je beginnen.

Je kunt dan bijvoorbeeld AC uitdrukken als functie van hoek CAB.
Of je kunt hoek CAB uitdrukken als functie van AC.

Deze functie kun je dan invullen in f.
De resulterende funcite kun je dan differentieren naar de variabele.
En de optimale situatie vindt je dan:
- ofwel bij het nulpunt van de afgeleide
- ofwel bij de ondergrens van de variabele
- ofwel bij de bovengrens van de variabele

Even een beetje toelichten:


Stel, je drukt hoek CAB uit als functie van AC.
Zeg hoek CAB = g(AC).

Dan kun je dat invullen in je waarderingsfunctie:

Waardering = f(AC, hoek CAB) = f(AC, g(AC))
Dat is dus een functie van AC.
Je kunt dit dus herschrijven als:
Waardering = w(AC).


We zoeken de "optimale" situatie.
Dat is dut het maximum van de functie w.

We weten dat het maximum van een continue functie ligt:
- ofwel op een plaats waar de afgeleide van de functie 0 is
- ofwel op de grens van het domein van de functie.

Het domein is natuurlijk (1,20 , oneindig).
- Er is dus geen bovengrens voor het domein.
- Ondergrens van het domein is 1,20. Maar of die 1,20 wel of geen deel uitmaakt van je domein is afhankelijk van de preciese definities (en de exacte formulering van je probleem).

Normaal gesproken zal je optimum in dit geval dus liggen op een plaats waar dw/dAC 0 is.


Dus je moet inderdaad differentieren.

Je kunt hier gewoon symmetrie gebruiken in de redenering:
"Nou denk ik dat de optimale verhouding tussen deze 2 factoren bij CAB= 45 graden ligt. Maar hoe bewijs ik dit?"

Beide factoren wegen even zwaar. Dus ik denk het product ja.

Druk AC in dat geval uit in hoek CAB (of andersom), neem het product van die waarde met hoek CAB (of andersom), en maximaliseer het product met differentiaalrekening.

Dat zou dus op kunnen leveren:

AC = BC/sin(hoek CAB);
dus het product is (hoek CAB)BC/sin(hoek CAB), waarbij hoek CAB tussen 0 en pi/2 moet liggen.

Het maximum van deze functie ligt op hoek CAB = pi/2, dus een rechte lijn. Ik suggereer dat je op zoek gaat naar een andere waarderingsfunctie. :p

Maar wacht even, je zegt, het maximum van die functie ligt bij pi/2, maar dat is als je het omrekent naar graden toch precies 45 graden? Bewijs geleverd toch?

pi/2 is 90°, je doet dus ergens iets mis, lijkt me...

Oeps sorry je hebt gelijk.. dan maar een andere oplossing zoeken, meer waardering kan ik een van beide factoren niet geven.

Je kunt ook gewoon willekeurig iets kiezen. ;)

Maar je zou zeker andere waarderingen kunnen toekennen. Je zou bijvoorbeeld de lengte AC in het kwadraat kunnen nemen, waardoor die belangrijker wordt. Probleem is dat wij niet weten wat je precies wil bereiken.

Het idee van Mephostophilis om met weegfactoren te werken lijkt mij eigenlijk best wel handig.


Maar wellicht moet je dan eerst beide variabelen omrekenen naar een schaal van 0 tot 1 (bijvoorbeeld).
(Pas op: Dat kan op een heleboel manieren. En de manier waarop je dat doet, is natuurlijk van grote invloed op je uiteindelijke uitkomst).


Bijvoorbeeld:

De hoek ligt tussen 0 graden en 90 graden.

Dus als je de hoek deelt door 90 graden, krijg je een getal tussen 0 en 1. Hoe groter de hoek hoe groter het getal.
of:
Neem de sinus van de hoek, dan krijg je een getal tussen 0 en 1. Hoe groter de hoek hoe groter het getal.

De zijde AC heeft een lengte van 1,20 of meer.
Deel de lengte door 1.20, dan heb je een getal van 1 of groter.
Neem het omgekeerde daarvan, dan heb je een getal tussen 0 en 1; hoe groter de zijde hoe kleiner dit getal.
Neem dan bijvoorbeeld 1 - dat getal.
of:
Neem 1/90 maal de boogtangens van (de lengte van de zijde - 1,20)


Als je zelf nog wat meer van die functies bedenkt, en vervolgens even kijkt in hoeverre het functieverloop voor jouw gevoel overeenkomt met wat die hoek (of die lengte) voor jouw gevoel waard is, ben je al een heel eind.

Vervolgens moet je eens bedenken wat je belangrijker vindt: Dat die hoek groot is, of dat die zijde lang is.
Dan kun je aan de slag met wat weegfactoren.

-----------------

Als je per se wilt dat er 45 graden uitkomt, dan kun je natuurlijk net zo lang met die weegfactoren goochelen totdat het maximum bij 45 graden ligt.
Maar dan heb je helemaal niets aangetoond, je hebt dan alleen maar wat zinloos gegoocheld met formules.

Op basis van symmetrie is de gelijkbenig rechthoekige driehoek (45 graden) de oplossing: als je hoek BAC groter maakt wordt AC kleiner en als je hoek BAC kleiner maakt wordt AC groter.

Op basis van symmetrie is de gelijkbenig rechthoekige driehoek (30 graden) de oplossing: als je hoek BAC groter maakt wordt AC kleiner en als je hoek BAC kleiner maakt wordt AC groter.


Op basis van symmetrie is de gelijkbenig rechthoekige driehoek (60 graden) de oplossing: als je hoek BAC groter maakt wordt AC kleiner en als je hoek BAC kleiner maakt wordt AC groter.


Op basis van symmetrie is de gelijkbenig rechthoekige driehoek (17 graden) de oplossing: als je hoek BAC groter maakt wordt AC kleiner en als je hoek BAC kleiner maakt wordt AC groter.


Op basis van symmetrie is de gelijkbenig rechthoekige driehoek (17.42546 graden) de oplossing: als je hoek BAC groter maakt wordt AC kleiner en als je hoek BAC kleiner maakt wordt AC groter.


Enzovoorts...


Kortom, daar schieten we dus ook al niets mee op.




We zullen toch *echt* een of andere indicatie moeten hebben, hoe beide zaken gewaardeerd worden.

Er is (volgens mij) maar één symmetrische rechthoekige driehoek!!!

Waarom zou dat dan in 's hemelsnaam de "optimale verhouding tussen deze 2 factoren" zijn?

Het voldoet aan de gestelde bewoordingen. Ik kan daar ook niet meer of minder van maken!