wiskundig probleempje [goniometrie
 

hej hai ik was fff bezig voor de komende toetsweek en ik bergijp de volgende vraag niet.

de baan van een punt P gegeven door:
x=sin(t)
y=sin4t)

op [0,2pi]
Bereken de lengte van de baan in twee decimalen nauwkeurig

ik kan dit vraag wel met de tl-83 maken, met fnInt, maar het duurt 2/3 minuten voordat die een antwoord geeft en ik het ook graag exact wil, want in de toets vragen ze altijd met ' doe het exact'


alvsat bedankt

groeten, nevret

De booglengte van een parameterkromme is de integraal over de tijd van sqrt((dx/dt)²+(dy/dt)²).

NB: sqrt = wortel

Je moet dus de afgeleides berekenen, invullen in de formule en dan de integraal berekenen.

Bij ons krijg je trouwens geen punten als je dat met de GR doet, je moet het allemaal netjes uitschrijven ;)

Ik denk dat het hier wel met de GR mag, gezien de opmerking over de decimalen.

krijg je op vwo integreren ?
ik zit nu op TUD TN, en aan het begin van het jaar kon niemand fatsoenlijk integreren.

x^2 ging dan nog wel, maar lnx dx of x*arctan^2x dx ging dan weer niet.

Een beetje. In ieder geval geen partieel integreren of (inverse) substitutie.

er staat in deze opgave: bereken..... in 2 decimalen nauwkeurig.

--> je mag hier dus de GRM gebruiken.

Je moet het helemaal uitschrijven als er zou staan: bereken exact.... / bereken met behulp van (differentieren/integreren enz) / bereken algebraisch.

btw booglengte van deze baan moet toch te doen zijn ?

Bepaal eerst sqrt((x'(t))²+(y'(t))²)
=sqrt(cos²(t)+16*cos²(4*t)). Er geldt: cos(4*t)=2*cos²(2*t)-1=2(4*cos⁴(t)-4*cos²(t)+1)-1
=8*cos⁴(t)-8*cos²(t)+1, dus sqrt(cos²(t)+16*cos²(4*t))
=sqrt(cos²(t)+128*cos⁴(t)-128*cos²(t)+16)
=sqrt(128*cos⁴(t)-127*cos²(t)+16). Deze functie kan alleen numeriek geïntegreerd worden, dus een exacte berekening is in dit geval niet mogelijk.