Goniometrie
 

Ik heb enkele opgaven waar ik echt niet uit kom.
Kan iemand me hiermee helpen?

1. Bewijs de volgende verdubbelingsformules:
a. cos 2A = 1 - 2 sin²
b. cos 2A = 2 cos ² A - 1

2. Bewijs:
a. cos ² A = 0.5 + 0.5 cos 2A
b. sin ² A = 0.5 - 0.5 cos 2A

3. Gegeven sin t = 2/3 en 0,5pi< t<pi
Bereken sin 2t en cos 2t

4. Gegeven y=cos² 2x
a. Herleid deze formule tot de vorm y=a + b cos cx
b. schrijf deze formule ook in de vorm y=a + b sin c(x - d)


Alvast bedankt !!

Voor ik je help, ben je bekend met complexe notatie? Dat maakt alles namelijk een stuk makkelijker.

Volgens mij is het met de reële formules hoor;

welke formules zijn er in de klas al bewezen trouwens? Op zich hoef je enkel die te gebruiken, eventjes zoeken op internet zal volgens mij ook wel (wisfaq.nl en dergelijke) heel wat resultaten geven voor deze bewijzen.

Voor 1a; bv.

je hebt cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) (somformule)
met a=A en b=A, krijg je dus
cos(2A)= cos²(A) - sin²(A)
= (1 - sin²(A)) - sin²(A) (hoofdformule goniometrie)
= 1 - sin²(A)

Voor de andere formules is het vrijwel analoog: steunen op een formule die je daarvoor bewezen hebt.

Voor 3 (en gelijkaardige problemen) raad ik je aan om een goniometrische cirkel te tekenen, daarop zet je dan de gegevens uit (desnoods als schets), daarmee kun je vaak al beter het probleem inschatten :)

Nee, ik ben verder nergens mee bekend.
We hebben vandaag voor het eerst goniometrie behandeld.
We mogen die somformules enz. ook bij het proefwerk erbij houden. Maar hoe weet ik nou bij vraag 2 bijvoorbeeld of ik
cos 2A = 2 cos² A - 1 moet gebruiken of de formule cos 2A = 1 - 2 sin² A ??

In een rechthoekige driehoek met hoek a geldt:
sin a = overstaande zijde / schuine zijde.
cos a = aanliggende zijde / schuine zijde.
(Toen ik jong was, leerden we dat als definitie van sinus en cosinus).

Als je verder helemaal geen enkele formule kent, kun je aan de hand van een tekening vrij eenvoudig afleiden dat cos 2a = cos² s - sin² a.

En met behulp van de stelling van pythagoras kun je zien dat sin² a + cos² a = 1.

Hieruit volgt dat cos² a = 1 - 2 sin² a (als je dat invult in bovenstaande formule, krijg je formule 1a).

Hieruit volgt ook, dat sin² a = 1 - 2 cos² a (als je dat invult in bovenstaande formule, krijg je formule 1b).

-------

Maar als het goed is, krijg je op gegeven moment de formules waa ILUsion het over heeft, en daarna wordt er waarschijnlijk nooit meer daar die bewijzen gevraagd.

Met die eerste formule kun je cos 2A omzetten in iets met cos² A.
Met die tweede formule kun je cos 2A omzetten in iets met sin² 2A.

Beide formules kun je toepassen als je een probleem *eenvoudiger* wilt maken.


Bij opgave 2b heb je bijvoorbeeld te maken met een vergelijking waarin twee dingen staan die je nog niet weet:
-> sin² A
-> cos 2A
Als je de zaak eenvoudiger wilt maken, wil je toewerken naar een situatie waarin nog maar een ding staat dat je nog niet weet.
Ga je dan die cos 2A uitdrukken in sin² A?
Of in cos² A?

Ja, natuurlijk kun je die identiteiten ook wel geometrisch afleiden, maar via de complexe notatie is het een stuk makkelijker. Maar als de TS die niet kent houdt het op natuurlijk.

Daar ben ik me wel bewust van hoor; maar in het middelbaar zie je toch enkel de reële formules (en op univ wordt het gewoon aan jezelf overgelaten om die complexe formules te testen aan de regeltjes die op de reële formules gelden). Met die complexe formules is er inderdaad niet veel aan het bewijzen daarvan, dat is dus ook iets dat ze meestal niet vragen.

Wat natuurlijk niet wegneemt dat het natuurlijk niet onmogelijk is om gewoon die complexe formules te gebruiken om de reële te bewijzen (maar dan moet je verder al die complexe sinus/cosinus-formules gaan bewijzen en dat lijkt me dan weer iets moeilijker dan die identiteiten gewoon in R te gaan bewijzen).

Ach, een natuurkundige maakt daar gewoon een Taylorreeks-wannabebewijs van. ;)

True