Wis - convergentie
 

Ik maakte net het eindexamen wis b1,2 2002-I en snapte deze vraag niet:

Voor elke beginwaarde u₀ is gegeven de rij u_n = -1/2(u_n-1)³ (voor n= 1, 2, 3, ...)
In figuur 7 en op de bijlage is de grafiek van de functie y=-1/2 x³ getekend.
Of de rij u₀,u₁, u₂, ... naar 0 convergeert, hangt af van de beginwaarde u₀.

Bereken exact voor welke waarden van u₀ de rij u₀,u₁, u₂, ... naar 0 convergeert.

( http://www.havovwo.nl/vwo/vwb/bestan...b1202iopg5.pdf )

Ook van de uitwerking die op havovwo.nl staat, word ik niet vele wijzer. Iemand die me dit kan uitleggen hoe ik dit moet oplossen en waarom dat zo is?

U(n ) = -1/2(U(n-1))^3 (voor n= 1, 2, 3, ...) convergeerd naar 0 op de volgende manier. Als je naar de formule kijkt kan je zien dat:
- Een negatief getal voor de formule staat. Dus elke serie wordt de waarde de andere kant van 0 gezet.
- De macht van het getal even is, dus een negatief getal een negatieve uitkomst van de macht-berekening zal hebben en visa-versa voor het omgekeerde getal.
- Hieruit volgt dat de uitkomt afwisselend positief en negatief zal zijn.

Dit betekend dat je de formule kan herschrijven voor zijn limiet-berekening: U(n ) = 1/2(U(n-1))^3, want het min-teken maakt even niet uit.

Dan gaan we vervolgens kijken voor welke waardes U naar 0 gaat.

Om naar 0 te gaan moet gelden: U(n ) < U(n-1).

In een evenwicht (U( n) = U(n-1)) geldt: U(n-1) = 1/2 U(n-1)^3 = U(n ) = U*.

Dit betekend dat
U* < 1/2 U*^3
---*2--->
2U* < U*^3
---/U*-->
2 = U*^2
--- wortel 2 -->
U* = 2 wortel 2 (noem ik even V2)

Voor alle beginwaardes U = V2 blijft de waarde dus gelijk (of i.i.g., zwerven tussen V2 en -V2), wat een stabiele limit cyclus wordt genoemd.

Bij startwaardes die kleiner zijn dan V2 of groter dan -V2 zal de waarde naar 0 gaan en bij waardes groter dan V2 of kleiner dan -V2 zal de waarde naar oneindig gaan. Als je dit test op je rekenmachine werkt het niet, maar ik geloof dat het zo klopt... iig met het antwoord.