[Wib2] Convergentie
 

Ik ben bezig met het leren voor mijn toets van maandag en ik kom maar steeds niet eruit hoe je de volgende opgave systematisch kan oplossen. Ik ben dus niet opzoek naar het antwoord maar naar de manier.

Gegeven is de rij Un = ^nsqrt(n²) (die n staat zeg maar tussen het 'v'-tje van de wortel).
a. bereken lim n-> oneindig
dat antwoord is 1

maar ik snap niet hoe je vraag b systematisch moet oplossen:
b. Ga na voor welke waarden van n geldt dat Un minder dan 0,001 van de limietwaarde verschilt.

Kan iemand mij dit uitleggen :)?

[edit1]

Iets waar ik ook niet uitkwam, het ligt gewoon aan die n die tussen het 'v'tje van de wortel staat. is het volgende. De opgave is 'bereken met behulp van de insluitstelling"

lim n->oneindig : ^nsqrt(5+5^n)

Maar hoe doe je dit met de insluitstelling? Het antwoordenboekje doet un = ^nsqrt(5^n) , vn = (gegeven) , wn = ^nsqrt(5*5^n)

Maar waarom?

Gebruik een rekenmachine en los de vergelijking | 1 - n^2/n | < 0,001 op.. aangezien het verschil tussen de limiet (1) en de functie kleiner moet zijn dan 0,001

Het antwoord dat ik denk:

jeroenjeroen, bedankt, hier was ik naar opzoek :)

het antwoord klopt ;)

Over edit 1:

Hmm van die insluitstelling snap ik helemaal niks, maar je moet in ieder geval onthouden dat de n-de machtswortel hetzelfde is als (...)^1/n net zoals de vierkantswortel staat voor (...)^1/2.

Edit:
Ik snap em een beetje.. De te onderzoeken rij moet sowieso tussen de twee rijen liggen waarmee je em gaat 'insluiten' en dat is hier het geval... Dus vandaar denk ik :)
Als je em hebt wil ik em ook graag weten :o

Edit 2:
Oh, dat is ook alles dat je móét doen bij de insluitstelling zie ik nu..

De vn ligt sowieso tussen de un en wn in (want un heeft de 5+ niet, wn heeft het maal vijf gedaan) en dus sluiten un en wn, vn in.

Ja, ik snap de insluitstelling ook wel. Maar waarom is het 5x en 5+ is daar een verklaring voor? Of kan het ook 1x en 1+ zijn bijwijze vanspreke. En waarom plus en keer?

Je weet dat U_n voor n naar oneindig de waarde 1 heeft. Als U_n minder dan 0,001 hiervan verschilt, dan moet dus gelden: |1-U_n|<0,001. Dit betekent dat moet gelden: -0,001<1-U_n<0,001, dus 1-U_n>-0,001 en 1-U_n<0,001, dus U_n<1,001 en U_n>0,999, dus 0,999<U_n<1,001.
U_n=(n²)^1/n=n^2/n. We moeten dus oplossen: 0,999<n^2/n<1,001. Dit is gelijkwaardig met log(0,999)<2*log(n)/n<log(1,001). Omdat n een natuurlijk getal is geldt automatisch dat log(0,999)<2*log(n)/n, dus hoeven we alleen maar 2*log(n)/n<log(1,001) op te lossen. Nu geldt: 4*10^-4<log(1,001)<5*10^-4, dus voor 2*log(n)/n<=4*10^-4 wordt zeker aan de voorwaarde voldaan. Stel n=1000*k, dan geldt: 2*log(n)/n=(6+2*log(k))/(1000*k), dus (6+2*log(k))/(1000*k)<=4*10^-4, dus (6+2*log(k))/k<2/5. Hieraan wordt voldaan voor 21<k<22, dus voor 21000<n<22000 geldt zeker: |1-U_n|<0,001.

Laten we v_n=(5+5ⁿ)^1/n eens nader bekijken. Voor alle n geldt: 5+5ⁿ>5ⁿ, dus 5ⁿ<5+5ⁿ, dus ook (5ⁿ)^1/n<(5+5ⁿ)^1/n.
Tevens geldt voor alle n: 5+5ⁿ<5*5ⁿ, ofwel 5+5ⁿ<5ⁿ⁺¹, dus ook (5+5ⁿ)^1/n<(5ⁿ⁺¹)^1/n.
Merk op dat (5ⁿ)^1/n=5^n/n=5¹=5 en dat (5ⁿ⁺¹)^1/n=5^(n+1)/n=5^1+1/n, dus 5<(5+5ⁿ)^1/n<5^1+1/n.
Als n naar oneindig gaat, gaat 1/n naar 0, dus 1+1/n gaat naar 1+0=1 en 5^1+1/n gaat naar 5¹=5, dus de insluitstelling geeft dus dat (5+5ⁿ)^1/n naar 5 gaat als n naar oneindig gaat, dus 5 is in dat geval de gevraagde limiet.