gonio
 

kan iemand mij het volgende uitleggen?

http://www.havovwo.nl/vwo/vwb/bestan...b106iiopg4.pdf

bij de vraag 11: hoezo geldt y=-x, zelf dacht ik gewoon y=x

Als je het zo doet, krijg je er wel aftrek voor(zie correctievoorschrift).
Maar dan komt ik niet uit:
cos 2t=cos 3t
geeft t=k*2pi of t=k*(2/5)pi dus het antw t=(2/5)pi
terwijl het antw t=pi/5 is?!

Ze willen dus punten weten waarvoor inderdaad geldt dat |y| = |x|

Als je zo op het eerste gezicht in de figuur kijkt zie je (ofja, dat schat je eigenlijk, want je mag het niet zo concluderen) dat
|y| = |x| ook geldt voor het punt (1,-1).
(1,-1) ligt op op y = -x (diagonaal linksboven naar rechtsonder) en niet y = x (want dat is de diagonaal linksonder naar rechtsboven).

En er moest ook gelden |y| = |x| en dit is het geval bij y = -x (want |-x| = x).

Snap je?

Je lost dus op cos 2t = -cos 3t

Er wordt gevraagd om die punten te zoeken die even ver van de X-as als van de Y-as liggen. Meetkundig stelt de verzameling punten, die even ver van 2 gegeven snijdende lijnen liggen, het bissectricepaar van deze lijnen voor. Bij de X-as en de Y-as geeft dit het bissectricepaar y=x en y=-x.
Laat P(x,y) een gegeven punt zijn van de kromme dat even ver van de X-as als van de Y-as ligt. Omdat y=x een van de gezochte bissectrices is geeft dit de vergelijking cos(3*t)=cos(2*t), met t=k*2*pi of t=k*2/5*pi. Dit geeft dus alle punten van de kromme die op de lijn y=x liggen.
De andere bissectrice is y=-x, dus dit geeft de vergelijking cos(3*t)=-cos(2*t), dus cos(3*t)=cos(pi-2*t), dus 3*t=pi-2*t+k*2*pi of 3*t=2*t-pi+k*2*pi, dus 5*t=pi+k*2*pi of t=-pi+k*2*pi, dus t=1/5*pi+k*2/5*pi of t=(2*k-1)pi. Voor k=0 zie je dat t=1/5*pi dus het eerste punt geeft dat op de lijn y=-x ligt.

Dit is echter niet wat hier bedoeld wordt. Er wordt gevraagd naar het eerste punt (na t = 0, dus na (1,1)) waarvoor geldt dat |x| = |y|.

Alle punten die liggen op de lijn y = x of de lijn y = -x liggen even ver van de x-as als van de y-as. Als je echter de grafiek volgt zie je dat het eerste punt dat op één van die twee lijnen ligt, op de lijn y = -x ligt (teken de 2 lijnen maar eens in de grafiek, dan zie je het zeker).

Je lost dus de vergelijking y = -x op, dus in dit geval:
cos(2t) = -cos(3t)
Nu is echter -cos(3t) gelijk aan cos(pi-3t)
dus cos(2t) = cos(pi-3t)
dus 2t = pi-3t + k·2pi OF 2t = 3t-pi + k·2pi
dus 5t = pi + k·2pi OF -t = -pi + k·2pi
dus t = pi/5 + k·2/5 pi OF t = pi - k·2pi
De eerste mogelijkheid levert dan dus t = pi/5.

en dit komt omdat de grafiek zeg maar linksom draait toch? Dan snap ik hem al. Dank u

Ja het begint rechtsboven ( t = 0 -> x = y = cos(0) = 1) en gaat dan naar linksonder, linksboven en uiteindelijk rechtsonder (t = pi => x = cos(2pi) = 1 en y = cos(3pi) = -1).