worteltrekken
 

Ik snap een kleine samenhang niet. Wortel 25 is 5 (25:5). Maar wortel van 20 is 2 x wortel 5. Hoe reken ik dat uit? (2x2x5, snap ik wel, maar hoe kom ik op 2x2x5 dus. :))

En is er nog een verschil tussen wortel 3 x 7 en 3 wortel 7?

Je moet weten dat je het getal waarvan je de wortel neemt, mag opdelen in verschillende losse wortels.

Dus bij 20. 20 =4*5
Sqrt(20)= sqrt(4)*sqrt(5) = 2*sqrt(5)

Ja het vormen geheel andere getallen. sqrt (3)*7= sqrt (3)*sqrt (49)= sqrt (147)
3* sqrt(7) = sqrt (9)*sqrt(7)=sqrt(63)

Even het algemene begrip (vierkants)wortel. Onder de wortel uit a verstaan we het getal waarvan het kwadraat gelijk is aan a. Zo is sqrt(4) (de wortel uit 4) gelijk aan 2 omdat 2²=4.
Voor het rekenen met wortels gelden de volgende regels:
sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b) en sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b).
Om sqrt(20) te bepalen ga je uit van 20=4*5. Links en rechts worteltrekken geeft dan: sqrt(20)=sqrt(4)*sqrt(5)=2*sqrt(5). We hebben nu, zoals dat heet, een factor (in dit geval 2) voor het wortelteken gebracht. Je maakt hierbij gebruik van de eigenschap sqrt(a^2*m)=a^m.
Een ander voorbeeld: sqrt(6⁵)=sqrt(6⁴*6)
=sqrt(6⁴)*sqrt(6)=6²*sqrt(6)=36*sqrt(6).
Ook bij het delen van wortels kun je dit toepassen. Voorbeeld: sqrt(1/5)=sqrt(5/25)=sqrt(5)/sqrt(25)=sqrt(5)/5=1/5*sqrt(5).
Ander voorbeeld: sqrt(6/5)=sqrt(6)/sqrt(5)=sqrt(6*5)/sqrt(25)=sqrt(30)/sqrt(25)
=sqrt(30)/5=1/5*sqrt(30). Bij de stap sqrt(6)/sqrt(5)=sqrt(6*5)/sqrt(25) vermenigvuldig je teller en noemer met sqrt(5), zodat je in de noemer de wortel uit een kwadraat krijgt. Deze stap heet het verdrijven van de wortel uit de noemer.

3* sqrt(7) = sqrt (9)*sqrt(7)=sqrt(63)

3x3=9 en 7x7=49. Hoe kom kom je tot 63? :s

Nee je moet nu gewoon die 9 met die 7 vermenigvuldigen. Van die 7 neem je al de wortel.

Bekijk maar eens hoe de ontbinding van 63 in priemfactoren er uit ziet. Er geldt: 63=3*21 en 21=3*7, dus 63=3*3*7=9*7, dus sqrt(63)=sqrt(9*7)
=sqrt(9)*sqrt(7)=3*sqrt(7). Omgekeerd kun je stellen dat 3=sqrt(9), dus 3*sqrt(7)=sqrt(9)*sqrt(7)=sqrt(9*7)=sqrt(63).

Ok thnx :D.

Weer een vraag pfffffffffff :$

Machten optellen, hoe gaat dat? Want machten vermenigvuldigen en delen is wel simpel. Maar optellen en aftrekken?

x^a+b = x^ax^b
x^a-b = x^a/x^b

Dit bedoel je?

Voor het optellen en aftrekken van machten bestaan geen vaste regels. Als je machten met hetzelfde grondtal bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, kun je wel een gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen, maar daar houdt het verder mee op.

Stel: 2^5+2^5+3^5+3^5+3^5.
Dit is gelijk aan 2^6+3^6. Maar hoe is dit gelijk?

Er geldt: 2⁵+2⁵=2*2⁵=2⁶ en 3⁵+3⁵+3⁵=3*3⁵=3⁶.

2*2^5=2^6 en 3*3^5=3^6.

Ok nog steeds vat ik hem niet. 2*2^5=2^6? Waarom? Is hier een regel voor?

Hoe bereken ik dat 2^5+2^5=2*2^5=2^6? Want ik kan niet ruiken dat 2^6 zelfde is als 2^5+2^5 :p

Bedenk dat 2 = 2¹, en pas de regel toe die ik hierboven postte.

Er geldt: 2⁶=2⁵⁺¹=2*2⁵. Dit is een voorbeeld van de regel a^m*aⁿ=a^m+n. Op dezelfde manier kun je afleiden dat 3⁶=3⁵⁺¹=3*3⁵.

Wat ik mij eigenlijk altijd al heb afgevraagd:
Hoe bereken je een wortel handmatig? Ik heb altijd een wortel uitmoeten rekenen mbv een rekenmachine, maar wat is eigenlijk de berekening erachter?

Ik gok wortels altijd.

Een handige methode, die als ik me niet vergis ook in rekenmachines wordt toegepast, is deze. (zoals de naam ook vermoedt, was deze al bekend bij de oude Babyloniërs!) Voor niet al te grote getallen kun je ook uit je hoofd makkelijk een schatting maken.

Bijvoorbeeld sqrt(1000). Een ruwe schatting is 30 (30*30 = 900). De eerste stap geeft dan sqrt(1000) ~ (1/2) * (30 + 1000/30) = (1/2)*(190/3) = 190/6.

190/6 = 31,666...
Mijn rekenmachine geeft: 31,623

Er zijn verscillende mogelijkheden. Een mogelijkheid is gebruik maken van de methode van Heron. Deze methode gaat als volgt: laat p=a*b het getal zijn waaruit je de wortel wilt trekken, waarbij een van de factoren a of b vrij te kiezen is. Voor a=b vinden we: a=sqrt(p), dus p is dan een kwadraat, dus we zijn klaar.
Als p geen kwadraat is, doen we het volgende: kies een b met b>sqrt(p), dan geldt: a=b/p. Bepaal nu b₁=1/2(a+b) als benadering voor sqrt(p). Als |b-a| "klein genoeg" is, is dit een acceptabele benadering. Is dat niet zo, bepaal dan a₁=b₁/p en neem b₂=1/2(a₁+b₁) als nieuwe benadering voor sqrt(p). We krijgen nu een zogenaamde intervalschakeling voor sqrt(p), met intervallen [a_n,b_n], waarbij de rij met termen a_n=b_n/p monotoon stijgend en de rij b_n=1/2(a_n-1+b_n-1) monotoon dalend is, waarbij a_n<b_n en de rij met termen a_n-b_n een nulrij is.
Een andere mogelijkheid is gebruik maken van de methode van Newton. Deze methode gaat als volgt: laat p het getal zijn waaruit je de wortel wilt trekken. Stel a<p en b=1/2([p-a²]/a). Als b "klein genoeg" is, is a+b een acceptabele benadering. Is dat niet zo, bepaal dan a₁=a+b en b₁=1/2([p-a₁²]/a₁) en neem a₁+b₁ als nieuwe benadering voor sqrt(p). We krijgen nu de rij met termen a_n=a_n-1+b_n-1 als een rij betere benaderingen voor sqrt(p), met b_n-1=1/2([p-a_n-1²]/a_n-1).

De leukste manier vind ik nog altijd deze. (Uitleg staat er vlak boven.)

Vroeger leerde men dit gewoon op de HBS, maar jongelui als mathfreak en ik hebben deze methode i.h.a. zelf moeten ontdekken door te snuffelen in interessante boeken.

Een rechtstreekse link naar de uitleg is vanaf deze site helaas niet mogelijk.
Dat is ook de reden waarom Mephostophilis' link naar de Babylonian Method (op diezelfde pagina) niet goed werkt - howel Mephostophilis het wel degelijk correct heeft ingetikt.

Hoi deze snap ik niet he. Het zijn exponenten btw.

als (1 / 5)^M (1 / 4)^18=1 / 2(10)^35
Wat is M?

-M is 35, maar ik weet neit hoe:s

Er geldt: (1/4)¹⁸=(1/2)³⁶, dus (1/5)^M*(1/4)¹⁸=(1/5)^M*(1/2)³⁶. Het is me overigens niet echt duidelijk wat je precies met 1 / 2(10)^35 bedoelt. Bedoel je er 1/2*10³⁵ of 1/(2*10³⁵) mee? In het laatste geval krijg je: (1/5)^M*(1/2)³⁶=1/(2*10³⁵), dus (1/5)^M*(1/2)³⁶=1/2*10^-35, dus (1/5)^M=(1/2)^-35*10^-35
=(1/2*10)^-35=5^-35, dus (1/5)^M=5^-35. Nu geldt: 1/5=5^-1, dus (1/5)^M=5^-M=5^-35, dus -M=-35, dus M=35.

Met 1 / 2(10)^35 bedoelde ik inderdaad 1 / 2 * (10)^35. Ik hoop dat het nu duidelijker is :). Kan je ook even 1 / 2 * (10)^35 voordoen dat ze allebij op M=35 komen

Superbedankt! :D

Trouwens nu ik het nogmaals lees he, is het mij nog niet helemaal duidelijk. (1/5)^M*(1/2)^36. Want dan heb je M=35 en M=36, ik snap nog steeds niet hoe je hieruit kan laten blijken dat M35 is :o

(1/5)^M*(1/2)^36 is wat er aan de linkerkant van het =-teken komt.

Vervolgens komt het =-teken.

Daarna komt de rechterkant.
En je hebt zojuist blijkbaar aangegeven, dat dat (1/2) * (10³⁵) is.
(Of bedoelde je nu toch nog 1 / (2*10³⁵) ?)
---

Dan heb je de opgave uitgeschreven.
En dan begint het eigenlijke rekenwerk dus pas.

De opgave luidt dus:
(1/5)^M*(1/2)³⁶ = (1/2) * (10)³⁵

Mathfreak heeft je precies voorgedaan hoe je die andere opgave zou hebben moeten oplossen (gewoon alles uitschrijven in machten van 2 en machten van 5).
Dus nu kun jij zelf deze opgave aanpakken.

En deze dan:
wortel 8+wortel 32= 2 wortel 10
dacht ik ;). Want 2x2=4 en 4x10 is 40. Want 8+32 is 40.

Maar het is 6 wortel 2. Vertel mij waarom :s

Wat jij veronderstelt is dat sqrt(a)+sqrt(b) gelijk is aan sqrt(a+b). Dit is alleen het geval voor a=0 of b=0.
Dat sqrt(8)+sqrt(32) gelijk is aan 6*sqrt(2) kun je zien door in beide gevallen een factor voor het wortelteken te brengen. Er geldt namelijk: 8=2³=2²*2, dus sqrt(8)=sqrt(2²*2)=sqrt(2²)*sqrt(2)=2*sqrt(2).
Er geldt: 32=4*8, dus sqrt(32)=sqrt(4*8)=sqrt(4)*sqrt(8)=2*sqrt(8)
=2*2*sqrt(2)=4*sqrt(2).
We zien dus dat sqrt(8)=2*sqrt(2) en sqrt(32)=4*sqrt(2) te herleiden zijn tot een veelvoud van sqrt(2), dus sqrt(8)=2*sqrt(2) en sqrt(32)=4*sqrt(2) zijn gelijksoortige wortels, zoals dat heet, en deze kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Je vindt dus: sqrt(8)+sqrt(32)=2*sqrt(2)+4*sqrt(2)
=(2+4)sqrt(2)=6*sqrt(2).

Ok en deze, is bijna hetzelfde als bovenstaande. Maar toch kom ik er niet uit, ik kom op N=32

5^21 x 4^11 = 2 x 10^N.
Maar N=21 :s

Gewoon stap voor stap uitwerken.

Stap 1:
4^11 = (2^2)^11 = 2^???
Pas hier gewoon de regels toe die Mephostophilis en Mathfreak jou hebben uitgelegd op 4 mei jongstleden.

Stap 2:
Gebruik het resultaat van stap 1 om de linkerkant van de vergelijking verder uit te werken.

Stap 3:
10^N = (2*5)^N = 2^?? * 5^????
Pas ook hier de regels toe die Mephostophilis en Mathfreak jou hebben uitgelegd op 4 mei jongstleden.

Stap 4:
Gebruik het resultaat van stap 3 om de rechterkant van de vergelijking verder uit te werken.

Stap 5:
Gebruik de resultaten van stap 2 en stap 4 om N uit te rekenen.

Je zou linear approximation kunnen gebruiken.

:|

Daar heb je meestal weinig aan omdat de afgeleide van een wortel zelf ook een wortel bevat. Maar voor getallen in de buurt van bekende wortels werkt het wel natuurlijk, bijv de wortel van 8,9.

Oké, daar heb je gelijk in.

wortel 8^2 - 4^2 = 7

ik kom op geen mogelijkheid tot 7, wel tot 16 :s

wortel(8²) - 4² = 8 - 16 = - 8 (wortel(8²) is gewoon 8)
wortel(8²-4²) = wortel(64-16) = wortel(48) = 4wortel(3).

Ik denk dat je iets niet goed hebt ingetypt.

wortrel 8^2 - 4^2 = wortel 8^2 - wortel 4^2 toch? En dat hoort hier 7 te zijn. :(

wortel (8^2 - 4^2) =/= wortel (8^2) - wortel (4^2)

dit mag je niet zomaar uit elkaar halen

Ieder geval het is: 8^2 - 4^2 staan onder 1 Wortelteken. Weet neit hoe ik het anders nog duidelijker kan maken :p

Dan geldt zoals ik al zei:

wortel(8²-4²) = wortel(64-16) = wortel(48) = 4wortel(3)

4wortel(3) is geen 7, maar zit er niet ver van af:
4wortel(3) = 6,9282...

Het zou kunnen dat Darkiekurd lineaire interpolatie bedoelde. Daarbij komen geen afgeleiden aan bod. Om sqrt(a) te benaderen vat je dit op als positief nulpunt van f(x)=x²-a. Stel f(p)<0 en f(q)>0, dan stellen we de vergelijking van de lijn door (p,f(p)) en (q,f(q)) op. De x-coördinaat van het snijpunt van deze lijn met de X-as geeft dan bij benadering sqrt(a).

is er dan ook een verschil tussen 2x2x5 dus 2 wortel 5 en 5wortel 2?

Want beiden is 20 :)

De regel die hier van belang is, is:

wortel(p*q) = wortel(p)*wortel(q)

Dus als je de wortel neemt van iets waar een factor in zit, die een kwadraat is van een geheel getal, kun je de wortel vereenvoudigen. Dat klinkt ingewikkeld dus ik zal wat voorbeelden geven.

wortel(12) = wortel(3*4) = wortel(4)*wortel(3) = 2*wortel(3)
wortel(90) = wortel(9*10) = wortel(9)*wortel(10) = 3*wortel(10)

Nee, dat klopt niet. Je kunt sqrt(a-b) alleen schrijven als sqrt(a)-sqrt(b) voor a=b of b=0.
Dit is als volgt in te zien: stel sqrt(a-b)=sqrt(a)-sqrt(b), dan geeft links en rechts kwadrateren: a-b=a-2*sqrt(a*b)+b, dus -2*b=2*sqrt(a*b), dus b=sqrt(a*b). Links en rechts kwadrateren geeft: b²=a*b, dus b²-a*b=0, dus b(b-a)=0, dus b=0 of b-a=0, dus b=0 of a=b.

Nee hoor, als je a=0 en b=-1 neemt, dan zou je krijgen: sqrt(1) = -sqrt(-1) en dat is niet zo.

Klopt niet.

2 wortel(5) = wortel (2x2x5) = wortel 20
5 wortel(2) = wortel (5x5x2) = wortel 50

Ik heb het inmiddels gecorrigeerd en er een nadere toelichting aan toegevoegd.