Limieten
 

Maandag examen wiskunde, en zoals gewoonlijk snap ik er weer weinig van.
De leraar gaat gewoon te snel, geeft bitter weinig theorie en geeft er weinig om dat 3/4 van de klas weer niet slaagt voor zijn examen.
Nu gaat het over limieten. We hebben oefeningen gemaakt, maar wat ís nu juist een limiet?!
Ik dacht eerst dat het het eindpunt van een grafiek in oneindig was... maar blijkbaar kun je dus ook de limiet in een punt berekenen... dus dit kan ook niet.
En wat is dan een linker en rechterlimiet?
Als je nu bijvoorbeeld hebt lim. f(x)= 0 wanneer x -> oneindig. Wat is die nul dan?

Ik kan er met mijn niet-wiskundig ingestelde hoofd echt niet bij. Ik snap gewoon niet wat ik nu aan het berekenen ben als ik de oefeningen maak!

Zie voor een uitleg van het limietbegrip http://nl.wikipedia.org/wiki/Limiet

Had ik al gedaan :) Heb eerst gegoogled voor ik het vroeg, maar van wikipedia werd ik niet veel wijzer.
Het is een grenswaarde... maar wat wordt er juist bedoeld met grenswaarde. Een punt is toch gewoon een punt? dat heeft toch geen grens?

Als de limiet van f(x) gelijk is aan nul wanneer x naar oneindigheid gaat betekent dat dat als de waarde van x naar oneindig gaat (arbitrair groot) dat de waarde van f(x) op dat punt 0 benadert.

Een rechterlimiet benadert de limiet van boven, de linkerlimiet van beneden dacht ik.

Ik zal het limietbegrip proberen toe te lichten met een voorbeeld: beschouw de functie f(x)=(x²+2*x+1)/(x+1). Voor x=-1 is deze functie niet gedefinieerd, maar voor x ongelijk aan -1 kun je schrijven: f(x)=(x²+2*x+1)/(x+1)=(x+1)²/(x+1)=x+1. We krijgen nu als grafiek de lijn met vergelijking y=x+1, maar voor x=-1 vertoont deze grafiek een perforatie in het punt (-1,0). We gaan nu eens kijken wat er gebeurt als we voor x een waarde kiezen die in de buurt van -1 ligt. Neem bijvoorbeeld x=-1,01, dan geldt: f(-1,01)=((-1,01)²+2*-1,01+1)/(-1,01+1)=(1,0201-2,02+1)/-0,01
=(1,0201-1,02)/-0,01=0,0001/-0,01=-0,0001/0,01=-0,01. Merk op dat we dit ook krijgen door x=-1,01 in x+1 in te vullen. Nemen we voor x bijvoorbeeld -1,001, dan blijkt dat f(-1,001)=-1,001+1=-0,001. Blijkbaar komt f(x) dichter bij nul te liggen als x vanaf links steeds dichter bij -1 komt te liggen. We zeggen nu dat de linkerlimiet van f(x) voor x naderend tot -1 de waarde 0 heeft en noteren dit als lim(x↑-1)f(x)=0.
Laten we nu eens kijken wat er gebeurt als x vanaf rechts steeds dichter bij -1 komt te liggen. Neem bijvoorbeeld x=-0,99, dan geldt: f(-0,99)=((-0,99)²+2*-0,99+1)/0,01=(0,9801-1,98+1)/0,01
=(0,9801-0,98)/0,01=0,0001/0,01=0,01. Merk op dat we dit ook krijgen door x=-0,99 in x+1 in te vullen. Nemen we voor x bijvoorbeeld -0,999, dan blijkt dat f(-0,999)=-0,999+1=0,001. Blijkbaar komt f(x) dichter bij nul te liggen als x vanaf rechts steeds dichter bij -1 komt te liggen. We zeggen nu dat de rechterlimiet van f(x) voor x naderend tot -1 de waarde 0 heeft en noteren dit als lim(x↓-1)f(x)=0.
Merk op dat f(x) dus de waarde 0 nadert als x de waarde -1 nadert. Omdat het in dit geval blijkbaar niet uitmaakt of x daarbij van rechts of links de waarde -1 nadert, zeggen we dat de limiet van f(x) voor x naderend tot -1 de waarde 0 heeft en noteren dit als lim(x→-1)f(x)=0.
Stel lim(x↑a)f(x)=lim(x↓a)f(x)=b, dan bestaat lim(x→a)f(x). In dat geval geldt: lim(x→a)f(x)=b.
We gaan nu eens kijken naar een ander voorbeeld. Stel f(x)=1/x. Zoals je waarschijnlijk wel weet is f in dit geval niet gedefinieerd voor x=0. We gaan nu eens kijken wat er gebeurt als we voor x een waarde kiezen die in de buurt van nul ligt. Neem bijvoorbeeld x=-0,01, dan geldt: f(-0,01)=1/-0,01=-1/0,01=-100. Nemen we voor x bijvoorbeeld -0,001, dan blijkt dat f(-0,001)=1/-0,001=-1/-0,001=-1000. Blijkbaar komt f(x) steeds verder op de negatieve kant van de getallenlijn te liggen als x vanaf links steeds dichter bij nul komt te liggen. We zeggen nu dat de linkerlimiet van f(x) voor x naderend tot nul de waarde min oneindig heeft en noteren dit als lim(x↑0)f(x)=-inf, waarbij inf een afkorting voor oneindig (infinite) is.
Laten we nu eens kijken wat er gebeurt als x vanaf rechts steeds dichter bij nul komt te liggen. Neem bijvoorbeeld x=0,01, dan geldt: f(0,01)=1/0,01=100. Nemen we voor x bijvoorbeeld 0,001, dan blijkt dat f(0,001)=1/0,001=1000. Blijkbaar komt f(x) steeds verder op de positieve kant van de getallenlijn te liggen als x vanaf rechts steeds dichter bij nul komt te liggen. We zeggen nu dat de rechterlimiet van f(x) voor x naderend tot nul de waarde plus oneindig heeft en noteren dit als lim(x↓0)f(x)=+inf.
In dit geval maakt het blijkbaar verschil of x van rechts of links tot nul nadert. Aangezien (plus of min) oneindig geen getal is bestaan de linkerlimiet en de rechterlimiet van f(x) voor x naderend tot nul geen van beide, en de limiet van f(x) voor x naderend tot nul bestaat dan ook niet.
Stel dat we bij f(x)=1/x een gegeven waarde f(x)=b hebben, dan geldt: 1/x=b, dus x=1/b. Als b ver weg op de negatieve kant van de getallenlijn ligt zal x=1/b vanaf links dicht bij nul liggen. We zeggen nu dat de limiet van f(x) voor x naderend tot min oneindig de waarde 0 heeft en noteren dit als lim(x→-inf)f(x)=0. Als b ver weg op de positieve kant van de getallenlijn ligt zal x=1/b vanaf rechts dicht bij nul liggen. We zeggen nu dat de limiet van f(x) voor x naderend tot plus oneindig de waarde 0 heeft en noteren dit als lim(x→+inf)f(x)=0.