Afgeleiden: nulpunten berekenen?
 

Hallo.

Ik ben momenteel voor m'n examen wiskunde aan het studeren (limieten en afgeleiden deze keer) en ik ben tot de conclusie gekomen dat ik niet weet hoe je de nulpunten van een functie en zijn afgeleide moet berekenen (zonder GRM dus).

Kan iemand me uitleggen hoe je dat doet? Google gaf niet veel nuttige info.

Bedankt bij voorbaat!

je hebt een functie f(x)=y
en dan y=0 berekenen??

Ja, en hoe bereken je die voor f'(x) en f''(x)?

een nulpunt betekent dat y=0/snijden met de x-as, volgens mij.

Dus ook bij de eerste en tweede afgeleiden de functie aan nul gelijkstellen??

Ben je zeker?
Onze leerkracht (ik zit in de 3-uurs) legde dat uit me a-b . a+b ofzo iets...

**edit**
Ik heb een oefening bekeken die als volgt gaat:

y = x² - 3x +2

de afgeleiden zijn dus:

y' = 3x² -3
y'' = 6x

en volgens het boek is de tekentabel dan als volgt (§ betekent gewoon "oneindig"):

Ik snap niet hoe je aan de nulpunten komt. Kan iemand dat uitleggen?

- extrema bereken je door de eerste afgeleide aan nul gelijk te stellen. Bij het maximum respectievelijk minimum is de helling 0 --> f'(x)=0

- Buigpunten zinj als het ware de punten waarbij de helling het grootst is --> minimum/maximum van de eerste afgeleide bepalen --> f''(x)=0

Charles je afgeleiden kloppen niet:

y = x^2 - 3x +2

y'= 2x - 3
y'' = 2


nulpunten kan je het best met de abc formule (y=0) berekenen of door kwadraat afsplitsen.

Als f een gegeven functie is bepaal je het nulpunt van f door de vergelijking f(x)=0 op te lossen. Als je wilt weten waar f extreemen heeft, dus waar f minimaal of maximaal is, los je f'(x)=0 op. Als je wilt weten waar de grafiek van f buigpunten heeft los je f"(x)=0 op.
In het voorbeeld dat jij gaf moet je de nulpunten bepalen van f(x)=x²-3*x+2. Je moet dus x²-3*x+2=0 oplossen. Stel dat dit te schrijven is als (x-p)(x-q)=0, dan zijn x=p en x=q de gezochte nulpunten. Er geldt: (x-p)(x-q)=x²-(p+q)x+p*q=x²-3*x+2, dus p+q=3 en p*q=2, dus p=1 en q=2, dus de gezochte nulpunten van f zijn x=1 en x=2.
Er geldt: f'(x)=2*x-3, dus f'(x)=0 geeft: 2*x-3=0, dus 2*x=3, dus x=3/2=1 1/2. Voor x<1 1/2 geldt: f'(x)<0 en voor x>1 1/2 geldt: f'(x)>0, dus x=1 1/2 geeft een minimum f(1 1/2)=2 1/4-4 1/2+2=-2 1/4+2=-1/4.
Omdat de grafiek van f een dalparabool is, en f dus een tweedegraadsfunctie voorstelt, kun je de extremen van f in dit geval ook vinden door kwadraatafsplitsing. Dit geeft: f(x)=x²-3*x+2=x²-3*x+2 1/4-2 1/4+2=(x-1 1/2)²-2 1/4+2=(x-1 1/2)²-1/4. Omdat de grafiek van f een dalparabool is geeft dit voor x=1 1/2 een minimum
f(1 1/2)=-1/4.
Omdat f"(x)=2 voor alle waarden van x is er in dit geval geen buigpunt.

@Supersuri: Je maakt bij het oplossen van een tweedegraadsvergelijking alleen gebruik van de abc-formule als oplossen door middel van ontbinden in factoren niet mogelijk is. Het oplossen door middel van kwadraatafsplitsing is wel altijd mogelijk, en zo wordt de abc-formule overigens ook afgeleid.

Ja mathfreak dat bedoelde ik als ontbinden in factoren niet mogelijk is (is dat dan iets anders dan kwadraat afsplitsen?)

Ik zag niet direct in welke factoren er ontbonden kon worden vandaar dat ik ook de abc formule noemde. :bloos:

*zucht*

Het is nu 2 jaar geleden dat we ontbinden in factoren moesten kennen en nu plots moet ik dat alles herhalen.
Nuja, even zoeken op het internet.
Bedankt!

Ontbinden in factoren is inderdaad iets anders dan kwadraatafsplitsing. Bij kwadraatafsplitsing herschrijf je a*x²+b*x+c als a(x-p)²+q. De grafiek van f(x)=a*x²+b*x+c heeft dan (p,q) als top. De vergelijking f(x)=a(x-p)²+q heet in dat geval de topvergelijking van f(x)=a*x²+b*x+c.
Als je toevallig weet dat r en s de nulpunten zijn van f(x)=a*x²+b*x+c, dan is dit te schrijven als f(x)=a(x-r)(x-s). Er geldt dan: r+s=-b/a en r*s=c/a. De vergelijking f(x)=a(x-r)(x-s) heet in dat geval de nulpuntsvergelijking van f(x)=a*x²+b*x+c. Omdat r en s de oplossingen zijn van a*x²+b*x+c=0 kun je, als ontbinden in factoren niet lukt, r en s vinden met de abc-formule. Als je dus r of s kent kun je het andere nulpunt vinden met de eigenschappen r+s=-b/a en r*s=c/a.
Dat is een kwestie van het herkennen van x²-(p+q)x+p*q=(x-p)(x-q).

@Charlesworth999: In mijn eerste reply in http://forum.scholieren.com/showthre...inden+factoren vind je alle informatie die je met betrekking tot ontbinden in factoren nodig hebt.

Ik snap hem.
Dankjewel iedereen!
Nu ga ik slapen en hoop dat het examen goed gaat...

Gewoon even laten weten dat het examen redelijk ging; ik denk er toch wel door te zijn. :)