Differentiaal vergelijkingen
 

Ik heb morgen een tentamen over diffentiaal vergelijkingen en ik ben wat aantekeningen kwijt en kan het in het dictaat niet goed vinden.

Mijn vraag of dit correct is.

ay' + by = c

De dv wordt dan: Yh = c1 * e^(-b/a).
Yp = b/c
y = c1 *e^(-b/a) + b/c

tau (tijdsconstante = a/b

Hoeveel tau heb je nodig om enigzins op de eindwaarde te komen?

Ik had nog een vraag voor 2e orde vergelijkingen

(Voor lapda gebruik ik de letter l.)

ay'' + by' + c = K*x

KV: al^2 + bl + c = 0

3 mogelijkheden: D (discriminant abc formule) > 0
-> c1 * e^(-l1*t) + c2 * e^(-l2*t) (lees lapda 1 en lapda 2 voor l1, l2)
D = 0
-> c1 * e^(l*t) + c2 *t* e^(l*t)
Ik vraag me af hoezo de - in exponent verdwijnt en waar die 2e t vandaan komt.

En hoe reken je het particuliere deel uit bij een 2e orde vergelijking.

Dus stel dat er achter de = 3t+4 staat?

Kijk maar eens op http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html

Ik begrijp die notatie daar niet helemaal. Het staat er vaak in andere vorm dan ay'' + by' + y = K*x

Waar is je variabele, waarschijnlijk x of t?
Stel x, dan: y_h = C*e^(-b/a*x)
Voor y_p is het volgens mij c/b ipv b/c.

Dat is volledig afhankelijk van wat jij onder "enigszins" verstaat...

Je bedoelt λ: lambda. Maar je mixt verderop x en t, waarschijnlijk één van de twee?

Dank je TD. Varibale is t, maar kan nu zelf wel bedenken hoe dat gaat als het t is ipv x. En die moet ik dus niet vergeten achter de e macht te zetten zie ik.

Het vak heet systyeem theorie, gaat ook een beetje over meet en regeltechniek, dus hoe processen in de tijd gaan.

Veel denkwerk is dat nu ook weer niet, x door t vervangen ;)
Dat moet inderdaad in de exponent, anders is het gewoon een constante.

Over die tweede vraag nog: bij een dubbele wortel moet je vermenigvuldigen met x (of t), opdat beide oplossingen nog lineair onafhankelijk zouden zijn.

Hmm nee, met een eerstegraads polynoom, toch? Dus als je variabele t is, met (At + B), met A, B constanten. Het is voor mij ook al weer even geleden.

Nee, toch niet. Misschien denk jij aan een voorstel tot particuliere oplossing, wanneer het inhomogeen deel van de eerste graad is. Dan stel je, zo algemeen mogelijk, een eerstegraadsveelterm voor. Dit gaat over de homogene oplossing bij meervoudige wortels van de karakteristieke vergelijking.

Maar als je 2 dezelfde wortels hebt van je karakteristieke vergelijking, dan heb je toch ook 2 vrijheidsgraden nodig? En A*t*exp(t/tau) heeft maar één vrijheidsgraad... Of zit ik nu helemaal verkeerd te denken?

Natuurlijk, zie de oplossing van Supersuri: "c1 * e^(l*t) + c2 *t* e^(l*t)"

Omdat de l's nu gelijk zijn, vermenigvuldig je de tweede term met een factor t, opdat beide oplossingen nog lineair onafhankelijk zouden zijn. De eerste term blijft gewoon e^(l*t). Ik had het dus over de tweede term.
Als je dan e^(l*t) buitenbrengt heb je inderdaad een coëfficiënt (At+B), ik had niet door dat je daarop doelde. Het leek op y_p = At+B, voor het bepalen van een particuliere oplossing.

Ah oké, dan snappen we elkaar.

En ik snap het ook tentamen ging goed. Zelfs dat over laplace ging goed:)

Alleen ik wist niet hoe je T moest berekenen.

Formule: 2y'' + 4y'+ 34y = 25 het systeem is bij t = 0 in rust dus y'(0) = 0 en y(0) = 0

Het berekenen van betta en omega nul en doorschot relatief was me wel gelukt.

Wat is T?

Ik weet niet wat T is, maar de oplossing van de DV krijg je gewoon door substitutie van de normale e-macht en dan het bekende recept toepassen voor de homogene vergelijking. Een particuliere oplossing is y(t) = (25/4)t². y'(0) = 0 en y(0) = 0 impliceert dat y_p geen polynomiale termen van nulde en eerste graad mag bevatten.

Dat probleem had ik ook. Ik denk dat T de tijd is tot het systeem op zijn eindwaarde is (en blijft). Dus na demping.

Mepho die DV oplossen was me wel gelukt. Had hem in mijn rekenmachine gezet. Maar y(0) = 0 en y'(0) = 0 heeft toch geen invloed op Yp? Die heb je toch alleen nodig om de 2 constanten die bij de e machten horen uit te rekenen.

Ik zal vanmiddag nog even de precieze som plaatsen. Weet niet zeker meer of achter het = teken 25 stond

De particuliere oplossing moet volgens mij ook gewoon voldoen aan de RVW. Maar het is voor mij een jaar of drie geleden dat ik dit gehad heb, dus het kan zijn dat ik dingen door elkaar haal.