Een vraag over afgeleiden
 

Ik hoop dat ik op dit bericht ne reply krijg,
maar we zitte natuurlijk wel in de vakantie.

Men leerkracht wiskunde had bij het exame wiskunde de vraag:
Bewijs de afgeleide van een quotiënt aan de hand van limieten.
Maar in men boek staat het op een andere manier
namelijk deze
http://nl.wikipedia.org/wiki/Quoti%C3%ABntregel

Men vraag was dus of iemand ze met limieten kan bewijzen en ze zou willen posten of doorsture naar benja002@hotmail.com

Thx

Ik denk door http://upload.wikimedia.org/math/8/9...87ce124353.png .

Laat q(x)=t(x)/n(x) de gegeven functie zijn, dan geldt: q'(x)=(n(x)*t'(x)-t(x)*n'(x))/(n(x))².
Bewijs: vogens de definitie van de afgeleide geldt:
q'(x)=lim h->0[(t(x+h)/n(x+h)-t(x)/n(x))/h]
=lim h->0[(t(x+h)*n(x)-n(x+h)*t(x))/(h(n(x+h)n(x))]
=limh->0[(t(x+h)*n(x)-n(x+h)*t(x)-t(x)*n(x)+t(x)*n(x))/(h(n(x+h)n(x))]
=limh->0[(t(x+h)*n(x)-t(x)*n(x)-n(x+h)*t(x)+t(x)*n(x))/(h(n(x+h)n(x))]
=lim h->0[{n(x)((t(x+h)-t(x))-t(x)(n(x+h)-n(x))}/(h(n(x+h)n(x))]
=lim h->0[{n(x)((t(x+h)-t(x))}/(h(n(x+h)n(x))]
-lim h->0[{t(x)(n(x+h)-n(x))}/(h(n(x+h)n(x))]
=lim h->0[n(x)/(n(x+h)n(x))]*lim h->0[(t(x+h)-t(x))/h]
-limh->0[t(x)/(n(x+h)n(x))]*limh->0[(n(x+h)-n(x))/h]
=n(x)/(n(x))²*lim h->0[(t(x+h)-t(x))/h]
-t(x)/(n(x))²*lim h->0[(n(x+h)-n(x))/h]=n(x)/(n(x))²*t'(x)-t(x)/(n(x))²*n'(x)
=n(x)*t'(x)/(n(x))²-t(x)*n'(x)/(n(x))²=(n(x)*t'(x)-t(x)*n'(x))/(n(x))², wat te bewijzen was.

Als je op
http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/analyse1.pdf
gaat kijken (hiervoor heb je Adobe Reader/Acrobat Reader nodig), zie je het bewijs op pagina 53 (en ook een stukje op pagina 52, voor dat van een product). Het is wat moeilijker geschreven (hyper-correcte prof). Maar het is wel iets mooier vormgegeven dan wat het forum hier toelaat.

Hypercorrect zou ik Stef nu ook weer niet noemen ;)

Maar ik noem hem lekker wel zo ;-) (niet dat Stefaan en ik beste maatjes zijn, hoor; misschian dat ik hem daarom wat hypercorrect vind).