[WI] asymptoten bepalen
 

Bij de oefeningsvragen voor een test krijg ik vaak vragen waarbij ik asymptoten moet bepalen.

Hier bij vraag 2 moet je ook zoiets doen:
http://www.ond.vlaanderen.be/toelati.../wiskaug01.pdf

daarna kwam ik in een oefenboek ook nog deze vraag tegen:

De functie y = x^3 / ((x^2) - 1) bezit de volgende asymptoten:

(a) een schuine en twee horizontale
(b) enkel een schuine
(c) een schuine en twee verticale
(d) enkel twee verticale

Hoe los ik deze vragen (eenvoudig) op??
oja, je mag geen rekenmachine gebruiken

Een functie bezit een horizontale asymptoot als: (inf = oneindig, a is een constante, niet telkens dezelfde)

lim x-> inf f(x) = a, of
lim x-> -inf f(x) = a

Een functie bezit een verticale asymptoot als de functie continu is (of in ieder geval stuksgewijs continu) en op zo'n continu stuk de functie niet gedefinieerd is. Oftewel, voor een zeker punt x = a geldt dan:

lim x-> a f(x) = inf, of
lim x-> a f(x) = -inf

Een functie heeft een schuine asymptoot als:

lim x-> inf f(x)/x = a, of
lim x-> -inf f(x)/x = a

In dit geval is het juiste antwoord dus c, er zijn twee verticale asymptoten op x = -1 en x = 1 omdat daar de noemer nul wordt. Er is een schuine asymptoot omdat de limiet van f(x)/x eindig is.

ik zie dat de noemer nul wordt bij x=1 v x=-1, maar hoe kan ik zien dat de limiet van f(x), laat staan de limiet van f(x)/x eindig is

misschien begrijp ik nu een beetje wat je bedoelt, bij deze formule zal f(x) naar oneindig gaan als x dat gaat, maar f(x)/x gaat naar een bepaald punt omdat de -1 in de noemer dan te verwaarlozen is (bij x-> inf) dus dan staat er (x^3/x^2)/x= 0 nietwaar? als het zo gaat begrijp ik de schuine asymptoot.

maar bij de 2e som uit de link staan in de teller en in de noemer dezelfde machten bij x. dan zou f(x ->inf) toch gewoon naar een punt gaan en niet f(x)/x met x->inf en zou de functie toch een horizontale asymptoot hebben?? Dit terwijl uit het antwoord (c) blijkt dat de functie een schuine asymptoot heeft

Bij je tweede vraag in de link moet het inderdaad ook c zijn. Maar als je goed de vraag leest zie je dat ze vragen wat er niet waar is.

Bij de eerste vraag is de limiet trouwens 1 en niet 0. Als de limiet van f(x)/x 0 oplevert heb je ook geen schuine asymptoot.

Ah, nu zie ik het, verkeerd gelezen :), dank je voor je hulp

Om voor f(x)=x³/(x²-1) de asymptoten te kunnen vinden kijk je eerst wanneer de noemer nul is. Dit is het geval als x=1 of x=-1, dus dit geeft de verticale asymptoten x=-1 en x=1.
Stel y=a*x+b is de gezochte scheve asymptoot, dan moet de limiet van |x³/(x²-1)-a*x-b| voor x naderend tot min of plus oneindig de waarde nul hebben. We gaan nu x³/(x²-1)-a*x-b herschrijven als x³/(x²-1)-(a*x+b)(x²-1)/(x²-1)
=x³/(x²-1)-(a*x³+b*x²-a*x-b)/(x²-1)
=[(1-a)x³-b*x²+a*x+b]/(x²-1). Wil deze limiet bestaan voor x naderend tot min of plus oneindig, dan moet x² de hoogst mogelijke macht van x zijn, dus 1-a=0, dus a=1. We krijgen dan de uitdrukking (-b*x²+x+b)/(x²-1)=-b+x/(x²-1). Voor x naderend tot min of plus oneindig geeft dit -b=0 als gevraagde limiet, dus b=0 en y=x is in dit geval de gezochte scheve asymptoot.