[WI] Functies die elkaar niet snijden
 

Hallo,

Ik zit met een opgave waar ik niet uitkom. Zou iemand mij kunnen helpen?

Beschouw de functies

Y1(x) = ¼ x2 -5x + 6
Y2(x) = 3x + P

x2 is natuurlijk x in het kwadraat.

Bepaal alle P zodat de 2 functies elkaar niet snijden.

------------

Nou ik dacht dus zo: laat ik de punten berekenden waarbij y1 en y2 elkaar WEL snijden:

y1 = y2
zo kwam ik uiteindelijk op P = ......
alleen dan kwam ik niet goed uit.

Kan iemand mij een hint/oplossing/uitwerking geven?

alvast bedankt,

Groeten jeffke15

misschien kun je even neerzetten wat je precies gedaan hebt dan kan ik je op je fout wijzen
dat is beter dan dat je het voorgekauwd krijgt denk ik

y1 = y2
1/4 x^2 -5x +6 = 3x + p
1/4 x^2 -8x +6 = p

abc formule

a=1/4
b=-8
c=6

-b +- wortel van b^2 - 4ac //// delen door 2 * a

- (-8) +- wortel -8^2 - 4*1/4*6 //// delen door 1/2

komt uit 8 +- wortel 58 //// delen door 1/2

x = 8- 7,615773106 / 0,5 = 15,23
x= 8+ ans / 0,5 = 31,23

maar dit zijn de punten waarvan ik dacht dat ze elkaar wel raakten dus ik dacht dan is het antwoord

alle punten waarbij p niet gelijk is aan 15,23 of 31,23

maar het antwoord klopte niet. en de getallen overigens ook niet:

want het antwoord luid dat de grafieken elkaar niet snijden bij alle p die kleiner of gelijk is aan -58

dus geef maar een aanwijzing of tip dan ben ik je dankbaar,..

Groeten jeffrey

misschien is deze manier van aanpakken ook niet juist bij zon vraag.
Als dat zo is kan iemand me vertellen hoe het dan moet?

groeten jeffke

Volg dezelfde werkwijze, maar bekijk de x in plaats van de p.

Je krijgt dus als snijpunt x = x(p) (x is een zekere functie van p)

Nu kun je nagaan voor welke p deze functie niet geldig is. Ik voel aan mijn water dat er wel een wortel uit zal komen die kleiner dan 0 wordt voor bepaalde p.

plot de grafieken eerst eens in je GR, dan heb je een duidelijk overzicht van wat je moet berekenen (neem hiervoor p=0). Je ziet dan dat de grafiek van y2=3x maar op één manier de grafiek van y1 kan "omzeilen". Hierna moet je met de afgeleiden gaan werken!

Als je er nog niet uitkomt moet je het maar zeggen, maar om het voor te zeggen is natuurlijk niet leuk ;)

Je eerste stap is inderdaad het gelijkstellen van y₁ en y₂. Wat je doet is p bekend veronderstellen en de vergelijking omschrijven tot een vergelijking van de vorm . Bepaal van de vergelijking die je dan krijgt de discriminant D en maak gebruik van het gegeven dat deze vergelijking geen reële oplossingen heeft als D<0. Met behulp daarvan moet je de gezochte waarden van p kunnen vinden.
Nog even een opmerking: functies zijn voorschriften die aangeven hoe je aan een gegeven variabele x een variabele y toevoegt. Het gedrag van zo'n functie kun je weergeven met een grafiek, en deze grafieken kunnen elkaar snijden, dus de juiste uitdrukking is "functies waarvan de grafieken elkaar (niet) snijden".

zo kan het ook, je kan p ook verkrijgen door de afgeleiden aan elkaar gelijk te stellen, de x invullen in y1 en dan kan je p zo berkenen.
Ik gebruik meestal deze methode, niet dat dat veel uitmaakt maar meer een questie van aangeleerd.

Als je naast de functiewaarden ook de afgeleiden aan elkaar gelijk stelt, ga je na waar de grafieken van de functies elkaar raken. Dat is echter een heel andere situatie. Waar het hier om gaat is dat je ziet dat je te maken hebt met een tweedegraadsvergelijking, waarvan je de discriminant kleiner dan 0 stelt, aangezien er vereist is dat de tweedegraadsvergelijking geen reële oplossingen heeft.

Maar: voor p kleiner dan de p waarvoor de grafieken elkaar raken zal er geen snijpunt zijn. Daarom is het in dit geval ook een goede methode.

Ik bedoelde alleen de afgeleide aan elkaar gelijk stellen. Je krijgt dan een coördinaat waarvoor de afgeleiden hetzelfde zijn, dus kan je deze invullen in Y₂, waarna alleen p nog onbekend is. De p die je dan berekent is de 'laatste' p waarvoor de functies elkaar snijden. Dus voor alle p kleiner dan wat je net berekent hebt.

Laten we beide opties eens apart bekijken om te zien of we dan inderdaad op hetzelfde resultaat uitkomen.
Eerste optie: theorie van tweedegraadsvergelijkingen toepassen. Stel y₁=y₂, dus , dus . Voor de discriminant D geldt: D=64-(6-p)=64-6+p=58+p. Willen de grafieken van y₁ en y₂ elkaar niet snijden, dan moet gelden: D<0, dus 58+p<0, dus p<-58. Voor deze waarden van p zullen de grafieken van y₁ en y₂ elkaar niet snijden.
Tweede optie: afgeleiden gelijk stellen, x invullen en zo de gezochte p vinden. Er geldt: , dus , dus x=16, dus y₁=4-80+6=-70, dus 48+p=-70, dus p=-118. Je vindt zo slechts 1 waarde van p. Deze voldoet weliswaar aan p<-58, maar in werkelijkheid heb je een oneindig aantal waarden van p, die voor p<-58 geen snijpunt geven. Het aan elkaar gelijkstellen van de afgeleiden geeft dus niet het gezochte antwoord. Je vindt bijvoorbeeld niet de waarden p met -118<p<-58, terwijl deze waarden ook aan aan p<-58 voldoen.

Je moet dan niet alleen de afgeleide aan elkaar gelijk stellen maar ook de functiewaarden, omdat je immers het raakpunt wil berekenen. Je krijgt dus hetzelfde antwoord, maar het berekenen van de afgeleide is nutteloos omdat je sowieso al de p krijgt waarvoor de functies raken.

bepaal eerst de top van het kwadratische verband.
Nu zet je die coordinaten in het lineare verband en heb je P.
aangezien het een dalparabool is moet dan volgens mij alles onder P goedrekenen.
mag ik vragen in welke klas je zit? (3H ?)