[Na] Beweging van een deeltje
 

Een deeltje beschrijft een baan van:

x(t) = r0 cos(wt)e1 + r0 sin (wt)e2

e1 = beweging in de links/recht richting
e2 = beweging in de achteren en naar voren richting

Vraag:

Schets de baan van het deeltje in een diagram en geef de natuurkundige mening van de parameters w en r0.

Hoe kan je die baan schetsen :bloos: (het zou met behulp van middelbare wiskunde moeten kunnen)

Merk op dat je hier te maken hebt met een vector met als horizontale component en als verticale component. De lengte van de vector is r₀ en de baan waar het hier om gaat is een cirkelbaan met straal r₀ en hoeksnelheid omega.

Ok, bedankt :)

Dus gewoon een normale cirkel baan?

Maar zijn er ergens algemene regels hierover te vinden, want ik moet echt weer wat kennis ophalen :/. Kon deze nergens vinden, ben al druk bezig om het differentiëren op niveau te krijgen.

Want ik moet bijvoorbeeld ook de snelheid uitrekening. Ik geloof dat de snelheid iets was zoals sqrt (x^2 + y^2). Klopt dat? Moet ik dan proberen die 2 vectoren in het kwadraat te doen, optellen en dan door de wortel te doen?

Zou u zo vriendelijk willen zijn om een werkwijze te geven maar geen antwoord, ik moet er namelijk van leren :).

ps. Leuk dat u er nog bent naar 3 jaar :D.

Dat het een cirkelbaan is, is niet zo moeilijk in te zien.

De afstand tot de oorsprong is namelijk precies: (met Pythagoras)



De snelheid wordt niet gegeven door de wortel van de kwadraten van de vectorcomponenten, maar door de wortel van de kwadraten van de afgeleides van de vectorcomponenten. Dus:

Dat van de differentiatie had ik eigenlijk nog moeten weten. Snelheid is immers de afstand / tijd. :bloos:

Maar waarom staat voor de en hoe komt het dat het ook is. :confused:

Die r₀ staat eigenlijk in het kwadraat onder de wortel, maar ik heb 'm voor het gemak er meteen maar uit gehaald. Dat er wr₀ uitkomt kun je zelf nagaan door de differentiaties uit te voeren en te herleiden (je krijgt weer een cos² wt + sin² wt).

Ik heb ooit een formularium hierover gemaakt, dit staat erin over de ECB (eenparig cirkelvormige beweging):

Dit is dus in het kort de uitwerking van dat alles, gewoon ter controle, veel meer verduidelijking ga ik er niet bijzetten.

Positievector:


Snelheidsvector:


Versnellingsvector:

Bedankt, precies wat ik nodig had (alhoewel ik vectoren nog niet echt gehad heb, maar die krijg ik wel binnen een paar weken).

Er zijn nog 2 dingentjes waar ik niet uit kom van deze vraag (en de volgende vraag is moeilijker dus dan is het al helemaal :s)

Ik moet de volgende 2 dingen bewijzen:
x(t) * v(t) = 0
v(t) * a(t) = 0

Bij de eerste kom ik er al helemaal niet uit en bij de tweede

* hoe kan daar ooit 0 uitkomen :bloos:

en waar staat e1`(t), e2`(t) en e3`(t) etc voor, want daar gaat de volgende vraag over.

Bedoel je met die * een inproduct?

Die vectoren is eigenlijk gewoon wat bij jou e1 en e2 geeft.

De bewijzen zijn niet zo moeilijk; het makkelijkste is gewoon het inproduct uitwerken inderdaad; maar om het zelf beter te zien, kan je best een tekening maken (of eentje opzoeken over de ECB), dan zie je mooi dat r (of x, maar dat vind ik minder mooi als benaming) en v steeds loodrecht op elkaar staan en dat anti-parallel is met r (en dus loodrecht op v staat). Want dat is nu eenmaal de betekenis van het inproduct; als dat 0 is van twee vectoren, staan die twee vectoren loodrecht op elkaar. Je moet ook niet de scalaire uitdrukking nemen; je opgave is eigenlijk:
en niet . Want dat laatste is enkel zo als of de cirkel een punt is ( r = 0 ) of het punt stilstaat ( v = 0 ); maar dat zijn eigenlijk geen interessante gevallen van een ECB.


Om je vraag over die eenheidsvectoren te beantwoorden:
enzovoorts (want die e1 die jij geeft, dus zonder vectorstreep, heeft GEEN enkel nut, vermits een eenheidsvector steeds lengte 1 heeft). Ook op vectoren kan je het begrip van de afgeleide toepassen, volgens de kettingregel in feite.
, dus in hun componenten geschreven, als je dan de gewone productregel van een afgeleide toepast, krijg je:
. Maar je cartesische assenstelsel (gewone x/y-assen) is vast, dus een eenheidsvector volgens de x/y-richting verandert niet naar de tijd, zodat de laatste 2 termen bij die afgeleide nul zijn. Bij andere assenstelsels gaan die termen wel meespelen (bv. polaire coördinaten, dan gaan je assen eigenlijk gedeeltelijk afhangen van welk punt je gaat bespreken en hangen je eenheidsvectoren daar dus ook van af.

Zie voor het begrip inproduct of inwendig product tevens http://nl.wikipedia.org/wiki/Inwendig_product

eh? Ik heb nog nooit echt met vectoren gewerkt (dat kleine btje bij na12 telt niet mee). Dat van de 90 graden op elkaar staan = 0 snap ik nog wel en ook dat het zo moet zijn. Maar hoe kan je dat bewijzen, met behulp van het inproduct?

Wat betreft die vectoren die gehele vraag is als volgt:
Problem 14 Rotating Alice is non-inertial (wat is non-inertial?)

Suppose Alice and Bob share ther same origin but Alice is rotating i.e she uses the following basis-directions

e1'(t) =
e2'(t) =
e3'(t) = e3

Now consider a particle that is at rest with respect to Bob at x = x1e1

a) What orbit does Alice find for the particle. :s

ps. Ben nu vrolijk bezig met ziek zijn en heb dus een 4 uur lange werkcollege gemist. En volgens mij heb je hier iets meer wiskunde nodig dan ik gehad heb op de middelbare + ik ben redelijk wat kwijt van wat ik wel gehad heb :(.

Nou, die e1 en e2 zijn anders gewoon vectoren hoor :), en nu komt de kat uit de mouw, maar dat accentteken staat niet voor een afgeleide, maar voor eigenlijk 2 extra vectoren. Je kan ze even goed e3 en e4 noemen, eigenlijk. Misschien staan die vectortekens bij jou niet met vectorpijltjes gedrukt, maar vet (zoals op WikiPedia), maar het concept is hetzelfde. En als ik het zo zie, heb je het concept toch door; maar misschien moet je eens een goed wiskundeboek daarvoor vastnemen , want vectoren zal je blijven gebruiken hoor (en zeker mechanica is niets anders dan vectoren; vermits je bij concepten als moment eigenlijk een uitproduct nodig gaat hebben).

Non-intertial, betekent letterlijk vertaald niet-inertiaal, wat inhoudt dat het begins van de intertie (traagheid) niet meer onveranderd geldig is. Praktisch gezien komt het erop neer dat het relatieve assenstelsel niet in een eenparig rijchtlijninge beweging (ERB, v mag desnoods nul zijn) is ten opzichte van het andere (en dat klopt ook, want je hebt een ECB). Het komt er eigenlijk allemaal op neer dat een niet-intertiaal assenstelsel fenomenen anders zal waarnemen dan een inertiaal assenstelsel. Bekijk het zo: je zit in de trein ping pong te spelen en de trein beweegt als ERB (dus hij rijdt met constante snelheid, niets vertragen/versnellen/remmen, op een recht spoor); dan ga je op net dezelfde manier kunnen pingpongen als normaal. Als je trein echte af en toe (bruusk) afremt, weer versnelt, gaat je balletje anders reageren dan in stilstand (dus de wetten die je waarneemt in het assenstelsel gebonden aan de trein is anders).

Bon, ik ga je opgave voor je een beetje uitwerken. Ik ga je assen andere namen geven, je 1/2/3-assen ga ik de x/y/z-assen noemen (vermits het eigenlijk gewoon daarop neerkomt). De andere assen noemt men vaak x'/y'/z'-assen of X/Y/Z-assen, om geen verwarring te veroorzaken, ga ik ze da A/B/C-assen noemen.


Wat eigenlijk de vraag is; we hebben een punt dat op de positie zit, maar we willen dat omzetten naar hoe Alice het ziet, en Alice ziet alles in de vorm van haar eigen A/B/C-assen. Het komt er dus eigenlijk op het bepalen van de onbekenden in de volgende uitdrukking: .

Uit het stelsel hierboven, dat de A/B/C-assen in functie van de x/y/z-assen en de tijd definiëert, kunnen we ook de omgekeerde relatie berekenen. Voor de z-as is dat makkelijk, voor de x en y-assen is dat wat moeilijker. Waarop het neerkomt, is de tweede vergelijking naar uitwerken, je substitueert dat tweede in het eerste, zodat je nog maar een uitdrukking in hebt. Hieruit breng je dan die eenheidsvector volgens de x-as aan de ene kant; je krijgt dus: .
Dat substitueren in de uitdrukking van die plaatsvector en je hebt wat je moest weten. Als controle kan je steeds die uitdrukking in de definitie van je assen stoppen (dan moet je dit alles ook voor de y-as doen), en dan krijg je dat de eenheidsvector volgens A gelijk is aan de eenheidsvector volgens A (en hetzelfde voor B. Let wel , je moet hier enkel 2 goniometrische identiteiten gebruiken (hoofdeigenschap en een gevolg daarvan): .

We hebben nu dus de x/y/z-assen uitgedrukt in A/B/C-assen, zodat we die positievector kunnen ontbinden in deze laatste assen: gewoon de gevonden vergelijkingen voor de eenheidsvectoren volgensx/y/z-richting substitueren in de vergelijking van je vector en je bent er :)

Ga uit van
, en en werk nu met behulp van de definitie van het inproduct op Wikipedia (zie mijn vorige reply) de gevraagde inproducten uit.

Non-inertial wil zeggen dat je met niet-constante snelheden, dus met versnellingen, te maken hebt.

In dit geval heb je te maken met een coördinatentransformatie, waarbij het coördinatenstelsel waarin Alice zich bevindt, ontstaat door Bobs coördinatenstelsel over een hoek van radialen linksom te draaien.

Je hebt hier inderdaad meer wiskunde nodig dan wat er sinds de invoering van de Tweede Fase op de middelbare school behandeld wordt, aangezien het onderwerp vectoren sinds de invoering van de Tweede Fase geen deel meer uitmaakt van de havo- en v.w.o.-stof voor wiskunde.
Bij deze van harte beterschap gewenst.

Er stond niks dik gedrukt ofzo die vraag was letterlijk overgenomen van het boek.

Tot hier snap ik het nog :).

eh? De stappen gaan me hier wat te snel. Je wilt dus ex berekenen en ey en dat als coördinaten gebruiken :S.

Ik snap die notatie niet. Hoe kan je zien (aan de formule) dat de snelheid 90 graden op de xas staat, zelfde voor de snelheid en de versnelling.

Altijd zo aardig om dit dan bij de eerste les te vragen, met de volgende tekst:

The problems below can be done by the first tutorial. The purpose of the first turtorial is to refresh some mathematics, trigonometry and physics that you have already encountered in the secondary school.

Hoofdstuk 9 van de wiskunde boek is vectoren, maar dat ziet er gewoon gestoord lastig uit, bovendien heb ik problemen met het engels. Wiki pagina snap ik ook niet echt :/.

Edit:

Bij de b vraag moet je de versnelling berekenen ik heb nu het volgende:

e'1(t) richting is de versnelling ->
e'2 (t) richting ->

Klopt het dat e1 en e2 richting 90 graden op elkaar staan. In dat geval moet de versnelling toch 0 zijn :s. Of ben ik weer vaag bezig, klopt het differentieren wat ik gedaan heb wel?

Ik ben uitgegaan van de kentalnotatie voor vectoren. Je kunt ook de vector helemaal in componenten uitschrijven, zoals ILUsion doet.
In de kentalnotatie die ik gaf stelt het bovenste getal de lengte van de component in de horizontale richting voor en het onderste getal stelt de lengte van de component in de verticale richting voor.
In http://staff.science.uva.nl/~craats/meetkundeNET.pdf vind je een beschrijving van het vectorbegrip en het inproduct.

Geef eens een beschrijving van de opbouw van dat hoofdstuk over vectoren. Waarschijnlijk zal het wel in grote lijnen hetzelfde zijn als in de link die ik hierboven aangaf.

Ik heb in mijn post hierboven mijn vector ontbonden tot een notatie in coördinaten t.o.v. het x/y/z-assenstelsel. Je hebt gegeven gekregen hoe de a/b/c-assen zich verhouden tot de x/y/z-assen via dat stelsel, maar dat stelsel moeten we in feite omdraaien, om zo te zien hoe de x/y/z-assen zich verhouden tot de a/b/c-assen. De hele opgave is dus eerst dat stelsel omdraaien (zodat je de eenheidsvectoren volgens a/b/c in functie van de eenheidsvectoren volgens x/y/z hebt).

Het komt erop neer dat je van het ene naar het andere assenstelsel wilt gaan: een vector kan je ontbinden volgens verschillende assenstelsels. In de notatie die je gegeven krijgt, is dat . Ik zet er vanonder die xyz bij, omdat dat volgens dat assenstelsel is (wat het meestgebruikte is, en dus meestal niet geschreven wordt; maar omdat we hier met transformaties van assen zitten, beter wel genoteerd wordt). Waarnaar we willen toewerken is het volgende.: , dit is dus de ontbinding van die vector in A/B/C-assen, met onbekend en gezocht (maar berekenbaar). Hoe we dat doen: de A/B/C-eenheidsvectoren hebben we gegeven in functie van die eenheidsvectoren van x/y/z, maar onze uitdrukking van de vector staat nog in de normale x/y/z-assen, daarin willen we dus die eenheidsvector volgens x weghalen, en vervangen door een uitdrukking met eenheidsvectoren van A/B/C (vermits Alice eigenlijk in die assen werkt). Hoe je dat precies doet, staat in mijn post hierboven, best doe je dat zelf even, als je ergens vastloopt, vraag het maar; het komt echt neer op die stappen die ik gegeven heb, maar ik heb de hele uitwerking uit luiheid niet opgeschreven (als je daar nood aan hebt, wil ik dat best doen hoor, al zijn het eigenlijk maar een drietal stapjes).

Die notatie wordt vaak gebruikt, eigenlijk is het een soort van matrixnotatie van een vector (die moeilijke termen moet je je niet aantrekken, hoor). Vermits je niet veel van vectoren afweet, probeer ik het ietsje uitgebreider te bespreken: een vector kan je zien als een geordend n-tal van getallen (het aantal getallen waaruit de vector bestaat, noemt men vaak ook dimensie, om het even simpel voor te stellen). Een positie is bijvoorbeeld ook een vector, een snelheid is een vector, een versnelling is een vector en zo is er heel veel een vector. Die n getallen van je vector noem je de componenten of coördinaten. Om bv. een punt in de ruimte uit te drukken, heb je 3 coördinaten nodig: x, y, z om te bepalen waar dat punt ligt (zelf kan je je wel voorstellen wat die coördinaten in feite voorstellen). Dit type coördinaten noemt met cartesische coördinaten, en ze zijn het makkelijkst om mee te werken (andere coördinatenstelsels geven bij sommige berekeningen grote voordelen, maar bij andere ook grote nadelen). In die notatie komt dat bovenste getal overeen met je 1e coördinaat (het getal dat voor je e1-eenheidsvector staat, in feite), dat daaronder met je 2e coördinaat, en ga zo maar door). Waarom men dat doet: zo hoef je niet altijd die plusjes te zetten en wordt het iets overzichtelijker om met vectoren te rekenen. Regelmatig wordt de matrix ook in rijvorm geschreven, bv. de e1-eenheidsvector komt overeen met (1, 0), de e2-eenheidsvector met (0, 1). Als je dit wilt visualiseren: neem een ruitjesblad en kies een oorsprong (0, 0) en markeer beide punten, als je dan een lijn door (0,0) en (1,0) trekt, zal je merken dat het de x-as is, een door (0,0) en (0,1) is de y-as :)

Je kan trouwens niet zien dat positie/snelheid/versnelling 90° op de x-as staan, want dat hangt helemaal af van op welk moment je dat bekijkt. Op momenten dat een van die vectoren loodrecht op de x-as staat, is het inproduct van die vector met de eenheidsvector volgens de x-as gelijk aan 0. Op wikipedia zie je daar ook de definitie staan: , en die cosinus is 0 als ze loodrecht op elkaar staan (vermis theta de hoek tussen beide vectoren is).

Volgens mij probeer je toch best door dat hoofdstuk te worstelen, zo moeilijk zijn vectoren niet hoor; in vergelijking met ander materiaal is het echt heel simpel; maar het moeilijke eraan is dat je in het begin het concept een beetje door moet hebben en ermee leren spelen. Sowieso is het zonde dat het in het middelbaar niet meer gegeven wordt (in België gelukkig nog wel, want anders kan je eigenlijk niet of deftige manier werken met zowat elke wetenschap en bij fysica en mechanica is het zeer beperkend als je enkel met scalairen (= gewone getallen, vectoren zijn daar een uitbreiding op in feite; net zoals reële getallen gezien kan worden als uitbreiding op de rationale, gehele en natuurlijke getallen) kan werken.

Misschien heb je iets aan volgende site: http://www.econ.kuleuven.be/tew/labo...en/sitemap.htm

Daarop staat de basis die je nodig hebt vrij summier uitgelegd :)