[WI] Oplossen van een vergelijking
 

Ik zit vast, ik heb denk ik samen met mijn vriendinnetje al 20 minuten hiernaar gekeken en we komen er niet uit.

Wie kan mij helpen en deze vergelijking oplossen op een manier dat ik het snap?



We hebben het reeds opgelost met intersect van de GR. Het antwoord moet zijn h= 5.28. We zien alleen niet hoe je dit mooi kan ombouwen zodat je dit antwoord krijgt.

Wie helpt :)?

Volgens mij begin je al best met dat alles te vereenvoudigen, een heleboel wortels zien we niet graag, dan valt de vorm van dit alles best mee:



Hierin kan je beide leden kwadrateren; langs de rechtkant bekom je dan nog een dubbel product (dus waar je met die exponenten 3/2 blijft zitten). Die kan op dezelfde manier wegwerken: gewoon de twee kwadraten naar het ander lid brengen, daar best vereenvoudigen (die derde macht van (h+6) kan je uitwerken volgens de formule van het merkwaardig product of volgens binomium van Newton). Dan weer beide leden kwadrateren, wat eigenlijk best veel werk is en je zou dan langs beide kanten een veelterm van de zesde graad moeten uitkomen. Met een beetje geluk vereenvoudigt die mooi en kan je daar je uitkomst uit halen door te ontbinden in factoren, nulpunten zoeken enzovoorts.

Ik zal hier straks eens met Maxima zien wat die zegt als uitkomsten :)

Weet je zeker dat er een exacte oplossing is? Ik zie er geen.

Hmm, ik krijg hier in ieder geval geen mooie dingen terug :(

Maxima bijt er zichzelf eigenlijk op vast, en geeft het volgende terug:



(wat dus wel zal kloppen, maar ons niets verder brengt, vermits er daar nog gemengde wortels zitten, en natuurlijk dat er geen expliciete uitkomsten gevonden worden).

Op mijn rekenmachine, komt 3.6725643 als uitkomst eruit, dat komt aardig in de buurt (12000 = 12912), jouw numerieke uitkomst, geeft bij mij als uitkomst (12000 = 18559), het is ook maar een indicatie; want beide oplossingen zijn natuurlijk benaderingen :)

Er is ook geen exacte oplossing, maar ik wil gewoon weten hoe je h krijgt.
Dus h = [blablabla].

Maar de docent zei:
Je mag het antwoord benaderen. Ik zou het erg knap vinden als je het analytisch oplost in dit geval. mvg

Maar als iemand mij kan uitleggen hoe je alsnog iets alsin: h= krijgt ben ik wel gelukkig want nu wil ik het gewoon weten :p

Tja, als Kazet Nagorra het ook niet ziet, vrees ik dat er eigenlijk geen exact analytische oplossing is.

Ik heb eventjes met Matlab het algoritme van Newton toegepast op je probleem, en als resultaat krijg ik: 2.795018031442122 (dus weeral een andere oplossing), maar die komt ook niet precies uit (afwijking van 1.7 en nog wat; maar ook grotere getallen geeft hij gelijkaardige afwijkingen, dus het kan evengoed afrondingsfouten bij MatLab zijn, waardoor hij dit alles teruggeeft.

Misschien dat MathFreak ziet wat we ermee kunnen doen?

Naja als jullie zeggen dat het echt niet kan dan geloof ik het ook wel dat het niet zo gemakkelijk ligt en dat mijn TW-huisgenoot zei dat hij geen zin had om zich erover te buigen omdat het teveel tijd kost :p

Ik zet de benadering gewoon neer :) Is net zoveel punten namelijk :)

Tja, ik vind het gewoon raar dat ik tweemaal een heel verschillende uitkomst krijg, dus ik vraag me af welke uitkomst je gaat opschrijven. En dat jouw uitkomst daar eigenlijk ook ver afligt. Een andere mogelijkheid die ik zou geprobeerd hebben, is een vaak toegepaste benadering, maar die gaat hier niet op, vermits in al onze gevallen h < 6, namelijk: , maar dat geldt enkel voor kleine waarden van x (en dat is dus enkel het geval bij h >>> 6).

Je hebt me wel nieuwsgierig gemaakt, waar komt die vergelijking vandaan, ik zie wel dat het iets met zwaartekracht te maken heeft, maar eigenlijk zie ik met geen enkele mogelijkheid wat er berekend wordt.

Kleine referentie voor Newton trouwens: http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method (waarvan ook een Nederlandse versie beschikbaar is, hoor).

Invoeren in je GR (dat ik dat ooit nog eens zou adviseren) en dan met Intersect uitrekenen. Ik zou je alleen niet één-twee-drie kunnen vertellen hoe veel oplossingen er zijn.

Je kunt het rechterlid in ieder geval herschrijven als , dus . Links en rechts delen door 5 geeft: . Links en rechts kwadrateren geeft: , dus , dus . Links en rechts kwadrateren geeft: .
Uitwerken van en met het binomium van Newton levert dan uiteindelijk een zesdegraadsvergelijking in h op, waaruit h is op te lossen. Daarvoor zul je waarschijnlijk je toevlucht moeten nemen tot een numerieke methode, omdat een zesdegraadsvergelijking in het algemeen niet algebraïsch oplosbaar is.

Ja, dat brengt je natuurlijk geen stap dichter. :D

Hoewel sommige zesdegraads vergelijkingen natuurlijk wel exact zijn op te lossen, dus als je echt wanhopig zou zijn zou het misschien een poging waard zijn.

Dat is wat ik in mijn eerste post ook zei, maar ik ben al blij dat jij ook dezelfde manier aanraadt, als wat bij mij als eerste opkomt :)

Trouwens zie ik niet goed in waarom een zesdegraadsvergelijking niet altijd analytisch uit te werken zou zijn. Je kan elke veelterm toch ontbinden tot een product van eerste en tweedegraadsvergelijkingen, en die beide soorten kunnen we toch gewoon oplossen voor een nulpunt (wat we hier dus in feite doen, als we 12000 naar de andere kant brengen)? Of mis ik hier iets? Duidelijk wel natuurlijk, anders zouden we hier ook een uitkomst vinden. Of is dat vooral omdat we hier met van die lelijke getallen zitten, dat er eigenlijk geen ontbinding bestaat, of iets dergelijks?

Het punt is dat de nulpunten i.h.a. niet analytisch te vinden zijn. Ze zijn er natuurlijk wel.

Oftewel als je hebt:



Dan kun je dat schrijven als:



Met g...m eventueel complex, maar er is geen algemeen recept om te gaan van a...f naar g...m.

Hmm, inderdaad :) Bedankt voor extra uitleg

Kazet Nagorra merkte al op dat er bij een gegeven zesdegraadspolynoom geen mogelijkheid is om via de coëfficiënten van zo'n polynoom direct de nulpunten te vinden, maar dat is niet de enige reden dat een zesdegraadsvergelijking (en ook een vijfdegraadsvergelijking) in het algemeen niet algebraïsch oplosbaar is.
Als een polynoom te ontbinden is op de manier die Kazet Nagorra aangaf, dan treden daarbij zogenaamde symmetrische functies op, die afhankelijk zijn van de nulpunten van het polynoom. Deze symmetrische functies beschrijven een groep die isomorf is met de permutatiegroep S_n, waarbij n de graad van het polynoom voorstelt. Uit de algebra is bekend dat deze permutatiegroep voor n>4 niet oplosbaar is, en dat betekent ook, zoals in het begin van de 19e eeuw door de Noorse wiskundige Niels Hendrik Abel en de Franse wiskundige Evariste Galois is aangetoond, dat een polynoomvergelijking met graad n>4 niet algebraïsch oplosbaar is.

Dat is allemaal heel interessant, maar eigenlijk begrijp ik er niet veel van :( Ik heb slechts een basis in de lineaire algebra mogen genieten; dus ik zou niet eens weten wat een permutatiegroep is (ik weet wat een permutatie is, en ik weet wat een groep is, maar dat kan ik niet combineren tot een permutatiegroep, waarschijnlijk omdat die permutatigroep niets te zien heeft met het begrip 'groep'). Eventjes zoeken op permutatiegroep, levert alweer WikiPedia op, en duidt aan dat ik het te ver zoek; maar veel wijzer word ik er niet van (wel wordt er met een kleine referentie naar Abelse groepen verwezen, doch zonder enige uitleg). Als je ooit wat tijd vrijhebt, mag je altijd meer uitleg sturen (vermits ik algebra wel een interessant studiegebied van de wiskunde vind); maar zie het zeker niet als verplichting, desnoods vraag ik het wel eens aan mijn prof van Algebra of die kort eventjes kan uitleggen waarom dat allemaal zo is. Ik weet wel nog uit een ver verleden dat hogeregraadsveeltermen inderdaad niet analytisch oplosbaar zijn (of zelfs een van de grote onopgeloste problemen was, dat weet ik niet meer zo heel goed; maar dat was nog op niveau-middelbaar, dus mijn geheugen kan me inderdaad best bedriegen).

Nee, het is dus geen onopgelost probleem omdat al is bewezen dat 5egraads en hogere polynomen niet exact oplosbaar zijn.

Offtopic: Tja, ik zei al dat ik er enkele enkele jaren geleden iets over gehoord had, dus dat mijn geheugen me op dat vlak in de steek zou kunnen laten door mijn toenmalige nog beperktere kennis van het onderwerp.

Oh, en ik zie het nu pas, maar gelukkige verjaardag :)

Eerst dan maar het begrip permutatiegroep: bij een verzameling van n elementen vormen alle mogelijke permutaties van deze elementen een groep, waarbij het samenstellen van afbeeldingen de groepsoperatie is. Deze groep, die, zoals je waarschijnlijk weet, n! elementen heeft, en dus de orde n! heeft zoals men dat noemt, geven we weer als S_n.
Dan het begrip oplosbaarheid van een groep: hiervoor hebben we de begrippen ondergroep en normaaldeler nodig. Laat (G,*) een groep zijn met operatie * en laat H een deelverzameling zijn van G. Als (H,*) eveneens een groep met operatie * is heet H een ondergroep van G. We definiëren voor alle g uit G
gH={g*h|h uit H} en Hg={h*g|h uit H} en noemen H een normaaldeler van G als
voor alle g uit G geldt: gH=Hg. De bijbehorende quotiëntverzameling G/H heet de factorgroep van G naar H, die gedefinieerd wordt door de equivalentierelatie x~y:x^-1*y uit H.
Laat H₀={e}, H₁,...H_k=G een keten van ondergroepen zijn, waarbij H_i-1 een deelverzameling is van H_i. We noemen G dan een oplosbare groep als H_i-1 een normaaldeler is van H_i en als de factorgroep H_i/H_i-1 commutatief is. Het blijkt nu dat S_n voor n>4 geen oplosbare groep is, en dat als gevolg daarvan een polynoomvergelijking met graad n>4 niet algebraïsch oplosbaar is.

Dat maakt het al wat begrijpelijker allemaal (nog niet helemaal, maar dat komt waarschijnlijk wel na enkele keren herlezen, heb in geen maanden nog algebra vastgehad). Bedankt voor de uitleg :)

Graag gedaan. :)