[WI] Differentiëren - Maxima en minima
 

Met het hoofdstuk differentiëren moet je de maxima en minima kunnen bepalen met behulp van de afgeleide of zo. Nou kan ik een beetje de afgeleide bepalen, en sommige vergelijkingen kan ik nog zelf oplossen. Zoals bij deze opgave, kan iemand deze even controleren?

1. Formule: h(t) = 1,85 + 12t - 4,9t^2
t = in seconden, h = in meters

a. Bereken met behulp van de afgeleide na hoeveel seconden de steen op zijn hoogste punt is. Hoe hoog komt de steen maximaal?

Afgeleide = 12 - 9,8t
12 - 9,8t = 0
12 = 9,8t
1,22 = t

1,85 + 12 x 1,22 - 4,9 x 1,22^2 = 9,20 meter

b. Zoek uit na hoeveel seconden de steen weer op de grond terecht komt.

invoer: formule
optie: calc, zero
oplossing: x = 2,60

Dus na 2,6 seconden

c. Bereken de snelheid waarmee de steen op de grond valt.

dY/dX = (0,0469-0,0603) / 0,001 = -13.4 seconden

Maar wat doe je dus bij een langere formule en hoe bereken je dan het minimum? Is dat altijd met calc, zero?

En hoe moet deze opgave:

Formule = TK = 0,1q^3 - 2q^2 + 15q
TK is in duizenden euro's en q in duizendtallen (q = vazen)

a. Bereken de totale kosten TK bij een weekproductie van 6000 vazen.
b. Bereken de afgeleide functie van TK.
c. Leg uit met behulp van de afgeleide dat TK geen maxima en minima heeft en dat de grafiek van TK overal stijgend is.
d. De fabrikant verkoopt de vazen voor € 17,50 per stuk. De formule voor de totale winst is TW = -0,1q^3 + 2q^2 - 2,5q. Bij welke productieomvang is zijn totale winst maximaal?

Is misschien wat veel, maar wil ff kijken of ik het snap.

c. Bereken de snelheid waarmee de steen op de grond valt.

Wat je hebt gedaan is goed, maar in dit geval is het sneller om de snelheid met de bij b gevonden waarde te berekenen. Gewoon t=2,60 in de afgeleide 12 - 9,8t invullen. 12 - (9,8 x 2,60) = -13.48 m/sec. (jij zei -13.4 seconden; dit is fout afgerond en in de foute eenheid ;) )

Formule = TK = 0,1q^3 - 2q^2 + 15q
TK is in duizenden euro's en q in duizendtallen (q = vazen)

a. Bereken de totale kosten TK bij een weekproductie van 6000 vazen.
b. Bereken de afgeleide functie van TK.
c. Leg uit met behulp van de afgeleide dat TK geen maxima en minima heeft en dat de grafiek van TK overal stijgend is.
d. De fabrikant verkoopt de vazen voor € 17,50 per stuk. De formule voor de totale winst is TW = -0,1q^3 + 2q^2 - 2,5q. Bij welke productieomvang is zijn totale winst maximaal?

a. TK = 0,1q^3 - 2q^2 + 15q = TK = (-0,1 x 6)^3 - (2 x 6)^2 + (15 x 6) = -0.6^3 - 12^2 + 60 = ...

b. TK = 0,1q^3 - 2q^2 + 15q => TK' = (3 x 0.1)q^2 - (2 x 2)q + 15 = 0.3q^2 - 4q + 15

c. TK' = 0 oftewel 0.3q^2 - 4q + 15 = 0 heeft geen oplossingen, dus heeft TK geen maxima en minima. Verder komt de grafiek van TK' nooit onder de x-as, dus is de helling overal positief en dus is de grafiek van TK overal stijgend.

d. 1e manier) TW = -0,1q^3 + 2q^2 - 2,5q plotten en met CALC Max de top bepalen.

2e manier) TW = -0,1q^3 + 2q^2 - 2,5q => TW' = (3 x -0.1)q^2 + (2 x 2)q - 2.5 = -0.3q^2 + 4q - 2.5 = 0. Vervolgens moet je q met behulp van de ABC formule achterhalen.

Bedankt, begrijp het dus een beetje. Maar hoe moet je d. dan oplossen op de 2e manier? ABC formule?:bloos:

En nog een kleine vraag: mijn docent vertelde me dat je je minima op dezelfde manier berekent als je maxima. Dus dat je de vergelijking gaat oplossen zeg maar. Maar dat lijkt me toch sterk aangezien je dan hetzelfde antwoord berekend en soms vragen ze maxima en de minima en dan doe je dus 2x hetzelfde:s

Er staat een fout in de vraag, de eenheden kloppen niet. Bij b) zou ik niet CALC gebruiken maar gewoon algebraïsch de nulpunten bepalen.

Ik sluit me aan bij Kazet Nagorra: gewoon algebraïsch de nulpunten bepalen is VEEL beter (, als je dus f(t) hebt als functievoorschrift, komt dat neer op f(t) = 0 te stellen en uit te werken; je krijgt waarschijnlijk 2 resultaten, maar daarvan is enkel de strikt positieve van belang voor je vraag).

Je snelheid is inderdaad dh/dt (dY/dX op je rekenmachine, maar je leert beter gewoon manueel te werken, als je dan zonder rekenmachine zit, kan je dan ook werken, terwijl als je alles met rekenmachine doet, ga je later vastlopen). En je mag dus inderdaad gewoon invullen in je formule voor je afgeleide, want wat jij doet is invullen in de definitie van de afgeleide, maar je neemt de limietovergang niet; in mensentaal uitgedrukt: je hebt slechts een benadering van die snelheid berekend (de gemiddelde snelheid over een interval van 0.0001 seconde in plaats van de ogenblikkelijke).

Wat je tweede vraag betreft:
a: gewoon invullen (lijkt me duidelijk)
b: (lijkt me duidelijk)
c: bedenk je wanneer een functie een maximum of minimum bereikt als je naar je eerste afgeleide kijkt (dTK/dq = 0, met de voorwaarde dat die wortels enkelvoudig zijn, of weer in mensentaal: dat je teken van TK rond die nulpunten verandert). In je opgave ga je voor de afgeleide dus een parabool krijgen die de q-as raakt of niet (maar zeker NIET snijdt!), zodat je geen nulpunten krijgt waar het teken van TK verandert.
d: maxima van TW uitrekenen, ook weer met de afgeleide en net zoals in de eerste opgave

Oh en, vermits je de ABC-formule niet kent, vermoed ik dat je Belgisch zou kunnen zijn (in Nederland noemt bijna iedereen dat de ABC-formule, in België is het een naamloze formule):
voor een tweedegraads veelterm:


kun je de de discriminant berekenen als volgt:

En krijg je de (nul, een of twee) oplossingen voor die vergelijking , die samen genoteerd kunnen worden als volgt:


Je kan dus zien dat als D = 0, je maar 1 oplossing gaat hebben, als D > 0 je twee oplossingen krijgt en bij D < 0 krijg je geen reële oplossingen (vermits een wortel van een negatief getal niet reëel is).

Normaal moet je die formule wel kennen als je aan afgeleides bezig bent (leerstof 4e middelbaar in België, meen ik me te herinneren).

Om in te gaan op je vraag dat je voor maxima en minima hetzelfde moet doen: dat is inderdaad zo, op wat details na:

je moet voor allebei de afgeleide berekenen en de nulpunten daarvan zoeken. Op dat moment heb je de stationaire punten van je functie gevonden (dit zijn kandidaat-extrema, zeg maar). Wat een extremum nu kenmerkt, is dat het teken van de afgeleide verandert rond dat stationair punt. Je moet dus een tekenverloop maken, als je bv. in a een stationair punt hebt (nulpunt van je afgeleide), kun je aan de hand van het teken van de afgeleide rond a bepalen of er in a een maximum of minimum is. Als dat teken gelijk blijft, heb je geen besluit (vaak komt dat neer op geen extremum, zeker in het begin van de oefeningen). Verandert dat teken heb je een extremum: als het teken van - naar + verandert, heb je een minimum (een negatieve afgeleide betekent: dalen, een positieve betekent da de functiewaarde stijgt); is het + naar -, dan heb je een maximum.

Oh, voor de duidelijkheid: die werkwijze geeft je dus je extrema (extreme waarden van de functie), en er zijn 2 grote types extrema: een minimum of een maximum. In het middelbaar leer je die term niet, maar het is misschien handig om te weten, vermits het dan wel steek houdt om met eenzelfde werkwijze alles te berekenen.

Er bestaat nog een tweede manier met behulpt van de tweede afgeleide, maar als je die gaat gebruiken, wordt die nog wel uitgelegd :)

Bertje B. komt uit Den Haag, dus het is een landgenoot van me. De abc-formule werd tot aan de invoering van de basisvorming al in de derde klas van het middelbaar onderwijs behandeld, maar ik neem aan dat deze formule nu wel in de bovenbouw van het havo en het v.w.o. aan bod komt bij het bespreken van de diverse functies.

Ik heb 'm in de derde klas gehad (y)

d. De fabrikant verkoopt de vazen voor € 17,50 per stuk. De formule voor de totale winst is TW = -0,1q^3 + 2q^2 - 2,5q. Bij welke productieomvang is zijn totale winst maximaal?

De formule heeft ILUsion gegeven, dus dan gaat het zo:

-0.3q^2 + 4q -2.5 = 0
a = -0.3 ; b = 4 ; c = -2.5
D = b^2 - (4 x a x c) = 4^2 - (4 x -0.3 x -2.5) = 16 - 3 = 13

Nu heb je de discriminant, en zoals ILUsion al zei, is deze positief en kun je al zeggen dat de vergelijking 2 oplossingen heeft.

Dit is logisch als je kijkt naar de volgende formule:

x = (-b + of - de wortel van D) / (2 x a)

Je kunt immers geen wortel uit een negatief getal trekken en als D = 0 dan maakt het niets uit of je + of - de wortel van D doet.

Nu volgt:

1) x = (-4 + wortel13) / (2 x -0.3) = 0.657

2) x = (-4 - wortel13) / (2 x -0.3) = 12.676

De eerste uitkomst is een minimum (controleer maar door -0,1q^3 + 2q^2 - 2,5q) te plotten), de tweede uitkomst is een maximum. Dit is dus de goede waarde van x. Je kunt dan een kleine bliksemschicht onder de eerste uitkomst zetten omdat die fout is. Dus bij 12.676 x 1000 = 12676 vazen is zijn totale winst maximaal.

Hmmm dit hebben wij niet gehad met die discriminant, tenminste niet dit hoofdstuk. En volgens mij moeten we het ook op een andere manier doen, in elk geval met de rekenmachine. Kan dat?

Ik ga even terug naar de eerste opgave. Wil de steen de grond raken, dan moet gelden: h(t)=0, dus 1,85+12*t-4,9*t²=0, dus 4,9*t²-12*t-1,85=0. Toepassen van de abc-formule geeft: of . Omdat t positief moet zijn voldoet alleen .
Na ongeveer 2,59 seconden zal de steen dus weer de grond raken. Merk op dat dit vrij nauwkeurig overeenkomt met het antwoord dat jij vond. Wat je ook kunt doen is een plot maken van de grafiek van h(t)=1,85+12*t-4,9*t² en aan de hand daarvan het snijpunt met de t-as aflezen. Je moet dan voor t ook weer een waarde van ongeveer 2,59 seconden vinden.
Bij de tweede opgave is gegeven dat de winst minimaal of maximaal is als TW'=0, dus als -0,3*q²+4*q-2,5=0. Als je van de grafiek van TW'=-0,3*q²+4*q-2,5 een plot maakt, en vervolgens de snijpunten met de q-as afleest, moet je als het goed is dezelfde waarden voor q vinden die zzzzzqqq ook gaf.

Het is me inmiddels allemaal duidelijk, bedankt allemaal!