[WI] Primitiveren
 

Olossen van een stelsel ODE's

Geef de oplossing van het volgende stelsel
x'(t) = -0,2x(t)
y'(t) = 0,3(x(t)-y(t))
Met x(0)=1; y(0)=0

Hoe groot worden x(t) en y(t) voor grote t? Teken in een figuur grafieken van de functies bla.



We hebben wel gevonden dat x(t)=e^(-0,2t), maar y(t) komen we niet uit.

Die oplossing voor x is inderdaad juist, voor y is dit de oplossing: .

De exacte rekenwijze kan ik je niet geven (heb het gewoon met de computer uitgerekend (die laatste 3 is daarin trouwens de integratieconstante)).

Invullen van x(t)=e^-0,2*t in y'(t)=0,3(x(t)-y(t)) geeft: y'(t)=0,3(e^-0,2*t-y(t)), dus y'(t)=-0,3*y(t)+0,3*e^-0,2*t. Omdat y(t)=e^k*t een oplossing is van de d.v. y'(t)=k*y(t) stellen we y(t)=z(t)*e^-0,3*t, waarbij z(t) een nader te bepalen functie is. Dit geeft: y'(t)=z'(t)*e^-0,3*t-0,3*z(t)*e^-0,3*t, dus y'(t)=z'(t)*e^-0,3*t-0,3*y(t). Invullen in de d.v. y'(t)=-0,3*y(t)+0,3*e^-0,2*t geeft dan: z'(t)*e^-0,3*t-0,3*y(t)=-0,3*y(t)+0,3*e^-0,2*t, dus z'(t)*e^-0,3*t=0,3*e^-0,2*t, dus z'(t)=0,3*e^0,1*t, dus z(t)=3*e^0,1*t+c, dus y(t)=(3*e^0,1*t+c)e^-0,3*t
=3*e^-0,2*t+c*e^-0,3*t. Invullen van y(0)=0 geeft: 0=3+c, dus y(t)=3*e^-0,2*t-3*e^-0,3*t. Als t groter wordt, dus als t naar oneindig gaat, gaan x(t) en y(t) naar nul.

Tot hier snap ik het. Wat je vervolgens doet met die z(t), dat volg ik niet echt. Je hebt dus 0,3y(t)+0,3*e^-0,2*t en dat zet je in de vorm k*y(t)? Maar z(t) is niet de k uit die functie, toch?

Wat je in feite doet is gewoon de vorm van de oplossing "gokken". Dan vul je je gegokte oplossing in en kijk je of er iets zinnigs uitkomt. In dit geval kun je z(t) oplossen door hem in te vullen in de vergelijking.

Nee, er geldt dat y(t)=e^k*t een oplossing is van de d.v. y'(t)=k*y(t). In feite hebben we echter te maken met een d.v. van de vorm y'(t)=k*y(t)+f(t), waarbij f(t) een gegeven functie is. Om deze d.v. op te kunnen lossen proberen we y(t)=z(t)*e^k*t als oplossing, waarbij we z(t) moeten zien te vinden. Uit y(t)=z(t)*e^k*t volgt: y'(t)=z'(t)*e^k*t+k*z(t)*e^k*t, dus y'(t)=z'(t)*e^k*t+k*y(t). We kunnen de d.v. y'(t)=k*y(t)+f(t) dus herschrijven als z'(t)*e^k*t+k*y(t)=k*y(t)+f(t), dus z'(t)*e^k*t=f(t), dus z'(t)=e^-k*t*f(t). Omdat f(t) hier gegeven is door f(t)=0,3*e^-0,2*t en omdat k=-0,3 kun je z(t) dus gemakkelijk vinden.
Wat ik gedaan heb is gebruik maken van het volgende: de d.v. y'(t)=f(t)*y(t) heeft y(t)=C*e^F(t) als algemene oplossing, waarbij F(t) de primitieve van f(t) voorstelt. Om nu de algemene oplossing van de d.v. y'(t)=f(t)*y(t)+g(t) te vinden stellen we y(t)=C(t)*e^F(t) als algemene oplossing. Dit noemen we het toepassen van de variatie van de constante. We krijgen dan: y'(t)=C'(t)*e^F(t)+f(t)*C(t)*e^F(t)
=C'(t)*e^F(t)+f(t)*y(t), dus C'(t)*e^F(t)+f(t)*y(t)=f(t)*y(t)+g(t), dus C'(t)*e^F(t)=g(t), dus C'(t)=e^-F(t)*g(t), dus , dus de oplossing van de d.v. y'(t)=f(t)*y(t)+g(t) is dan .

Hm, ik snap het nog steeds niet echt. Maar ik kijk er nog wel eens na tegen de tijd dat ik primitiveren bij wiskunde leer ;x De vriendin van wie deze som was snapt 't iig, dus bedankt! :cool: