[Wi] Limiet
 

Ej,
Dit is misschien wel een domme vraag, maar ik ben de limietskillz even helemaal kwijt, en ik kom maar niet uit de volgende:





De voorbeelden uit het boek lijken hier helemaal niet op, daar kan je makkelijk tussen haakjes zetten maar hier lukt dat me niet.
Bedankt!

Boven en onder de breukstreep differentiëren geeft:



(het kan vast ook op andere manieren)

Bedankt :)

Maar ik wist niet dat je gewoon mag differentieren, dat staat dan weer niet in die calculus -O-

(het kan vast ook op andere manieren)

Inderdaad!

Direct invullen van x=2 leidt tot 0/0 wat erop wijst dat zowel teller als noemer de factor x-2 bevat. Staartdeling geeft uitkomst.
x-2 valt dan weg en x=2 invullen geeft 32/12=8/3

Het staat waarschijnlijk wel in je calculus boek (als de regel van L'Hôspital), maar de vraag is of je die regel mag gebruiken op je tentamen.

Zonder l'Hôpital: teller en noemer ontbinden in factoren, differentiëren niet nodig.

Merk op dat en , dus . Deze laatste limiet is door invullen van x=2 probleemloos te berekenen.

Bedankt voor alle replies :) nu weet ik het weer.

Maar nu het volgende probleem... (zeg het maar als dit hier niet hoort)
Ik ben nu bij die bewijzen met epsilon en delta, en ik heb totaal geen idee wat je daarmee doet/bewijst. Ik heb net een opgave gemaakt door in het voorbeeld de getallen uit de opgave in te vullen, maar ik heb echt geen idee wat ik dan allemaal doe. Wat er in het boek staat is niet echt te begrijpen. Als iemand dit zou kunnen uitleggen zou ik erg blij zijn ^_^
Nogmaals bedankt

Het mag ook niet altijd, aan het gebruik van die regel van l'Hôpital zijn een aantal voorwaarden verbonden, waardoor je niet altijd het goede antwoord krijgt als je 'm blindelings toepast. Maar als je er op een andere manier niet uitkomt, dan is het een prima "wanhoopspoging". :p

Dat is (inderdaad) vrij 'lastig', maar misschien kan je een voorbeeld geven?

Bewijs met de formele definite van een limiet:



Zelf heb ik dit eruit gekregen:

Zoek zodat als dan

Dus --->

Ook geldt en .

als

Dus

Zo staat het voorgedaan in het boek, maar wat er nu staat... :s

Er komt helemaal geen 4 uit die limiet, bedoel je niet x->1?

oops, typo x --> 1 inderdaad

Die limiet is 4, als voor alle e>0, er een d>0 bestaat zodat:
Als 0<|x-1|<d, dan moet ook gelden |f(x)-4| < e.

We werken verder met wat we willen bekomen, en schrijven:

|f(x)-4| = |3x+1-4| = |3x-3| = |3(x-1)| = 3|x-1|

We weten dat |x-1|<d, dus kunnen we dit afschatten:

3|x-1| < 3d

We willen dat 3|x-1|<e, hieraan is voldaan als 3d = e.
Dus, als we d = e/3 kiezen, dan is er voldaan aan de definitie.

Ok bedankt, nu begint het wel duidelijk te worden.

Probeer zelf aan te tonen dat de limiet van 2x-7 voor x gaande naar 3, gelijk is aan -1.