[WI] eenheidscirkel
 

Gegeven is een eenheidscirkel met straal r. Het middelpunt is O. Getekend zijn 2 stralen r. Eentje van O naar punt A op de eenheidscirkel en eentje van O naar punt B op de eenheidscirkel. Hoek AOB heet hoek x.

Nu moet ik bewijzen dat de oppervlakte van OAB gelijk is aan 0,5r^2*sin(x)

Ik dacht zelf aan het volgende:

De oppervlakte van een cirkel is pi*r^2
om van een bepaald deel de oppervlakte te berekenen doe je (x/2pi)*pi*r^2
Dit wordt uiteindelijk 0,5*r^2*x.

Maar dit is dus de oppervlakte van het 'taartdeel' waar driehoek OAB onderdeel van is. Hoe kom ik nu vervolgens bij de oppervlakte van driehoek OAB?

Vraagje, je hebt het over een eenheidscirkel met straal r. Een eenheidscirkel heeft toch altijd straal 1?

Maar het probleem: Je berekent eerst de coordinaten van punt A, vervolgens die van punt B en die trek je dan van elkaar af, op die manier weet je de zijde (1) en de hoogte van de driehoek, en daarmee kom je wel verder.

Eerst en vooral wil ik er eventjes op wijzen dat een eenheidscirkel een straal r = 1 heeft; anders mag je het gerust een (gewone) cirkel noemen, hoor :)

Hoe je dat alles berekent, ik ga het je niet volop voordoen; maar het makkelijkste om alles te zien, is om op je blad enerzijds een eenheidscirkel te tekenen en daarop je goniometrische definities (sin, cos) aan te duiden, dit gewoon om visueel een beeld te hebben op de sinus en cosinus (wat volgens mij bij veel scholieren het grootste probleem is met die functies). Als je dat nooit gedaan hebt: de sinus is de y-coördinaat van een punt op de eenheidscirkel (en de cosinus is de x-coördinaat), dit kan je natuurlijk in lengte ook uitzetten op de x/y-assen.

Voor je grote tekening zou ik zeggen: teken je cirkel fijntjes in potlood, zodat het je niet te veel afleidt, vermits je eigenlijk gewoon met je driehoek moet werken. Denk eraan dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan 0.5 * basis * hoogte). Als je OA op de x-as legt kan je dat het makkelijkste zien in verband met je eenheidscirkel; dan komt het er vooral op neer van een goede (lees: makkelijk berekenbare) basis en hoogte te nemen in de driehoek. Die cirkel dient enkel om je afstanden te bepalen.

Je weet dat hoek AOB de waarde x heeft. Omdat A en B beide op de cirkel liggen geldt: OA=OB=r, dus driehoek OAB is gelijkbenig. Dat betekent dat de hoekdeellijn van hoek AOB samenvalt met de hoogtelijn op AB. Laat C het snijpunt zijn van deze hoogtelijn met AB, dan is de oppervlakte van driehoek OAB het dubbele van de oppervlakte van driehoek OAC. Omdat hoek AOC bekend is kun je de lengte van OC en AC berekenen.

Dit lijkt me het meest makkelijk. Ik heb de cirkel getekend met lijnstuk OB op de positieve x-as.
Als ik 0,5*basis*hoogte toepas, dan krijg ik
0,5*r*sin(x)

sin(x) is toch de hoogte dan, of zie ik iets over 't hoofd?

0,5*r*sin(x) is in ieder geval niet gelijk aan 0,5*r^2*sin(x), dus ik doe nog steeds iets fout.
Of geldt dit soms alleen voor een stompe hoek ofzo? Ik heb namelijk een scherpe hoek getekend.

Je ziet inderdaad iets over het hoofd: in de eenheidscirkel mag dan sin(x) overeenkomen met de hoogte, in een willekeurige cirkel NIET.

Een handige 'truc' daarvoor is het toepassen van dimensieanalyse; de naam is duurder dan het eigenlijk toepassen: wat je zoekt is een oppervlakte, met een dimesie lengte², 0.5 * r * sin(x) heeft een dimensie lengte¹ (0.5 heeft geen dimensie, r heeft een dimensie 'lengte' en een sinus heeft ook geen dimensie). Je mist dus inderdaad nog een dimensie lengte. Waarschijnlijk begrijp je er niet al te veel van, maar je moet nog vermenigvuldigen met r, vermits dat de straal van je cirkel is: r * sin(x) komt overeen met de hoogte. De enige tip die ik kan geven is om het uit te tekenen. In de eenheidscirkel maakt het natuurlijk niet uit, vermits r = 1 en r * sin(x) = 1 * sin(x) = sin(x) (en dat dus schijnbaar een dimensie lengte heeft, maar eigenlijk slechts de verhouding in een rechthoekige driehoek is tussen de hypothenusa (rechthoekige zijde) en de overstaande zijde). Als je het niet helemaal begrijpt, mag je gerust meer informatie vragen, dan wil ik morgen best een figuurtje voor je ineenknutselen (maar daar heb ik op dit eigenste moment geen goesting meer in).

Je ziet inderdaad iets over het hoofd. Zoals ik al aangaf liggen A en B op de cirkel, dus OA=OB=r, dus driehoek OAB is gelijkbenig. Van deze driehoek is AB de basis. Noem het midden van AB C, dan is de hoogtelijn OC tevens de hoekdeellijn van hoek AOB, dus hoek AOC=1/2*hoek AOB=1/2*x.
Ga nu uit van driehoek OAC. Dit is een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden AC en OC. Omdat hoek AOC=1/2*x en OA=r kun je AC en OC berekenen, dus weet je ook de oppervlakte van driehoek OAC. Omdat dit de helft is van de oppervlakte van driehoek OAB, weet je dus ook de oppervlakte van driehoek OAB.