Scholieren.com forum - [WI] Integraal

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Integraal (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1640085)

Hallo,

Ik ben op zoek naar de integraal van 1/ 2+cos x (naar x).
Ik vind hem niet direct. Heb al de cos x geschreven als andere mbv verdubbelingsformules maar het probleem is dat je dan met een kwadraat zit wat nog moeilijker is. Iemand een idee?

Dank je:)

mbv een webversie van Mathematica kom ik uit op
$\int \frac{dx}{2+cos{x}} = \frac{2}{sqrt{3}} arctan{( \frac{tan({ \frac {x}{2} })} {sqrt{3}} )}$

Een exacte uitwerking kan ik je helaas niet geven, dat gaat me iets te ver atm -O-

Is het niet gewoon $\frac{x}{2} + sin(x) + C$ ?

Citaat:

Ske* schreef: (Bericht 26287094)

Stel tan(1/2*x)=t, dan geldt: $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ en $dx=\frac{2dt}{1+t^2}$ . Hiermee moet je er uit kunnen komen.

Inverse substitutie van tan(x/2), het magische wondermiddel! :p

Of old-fashioned, het ding gewoon zelf aanvallen... :evil:
Er geldt: cos(2x) = 2cos²x+1 dus cos(x) = 2cos²(x/2)+1:

$ \frac{1}{{2 + \cos x}} = \frac{1}{{2 + 2\cos ^2 \frac{x}{2} - 1}} = \frac{1}{{1 + 2\cos ^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1}{{3\cos ^2 \frac{x}{2} + \sin ^2 \frac{x}{2}}} $

In de laatste stap vervang ik 1 door sin²(x/2)+cos²(x/2).
Deel nu teller en noemer door cos²(x/2), dat levert:

$ \frac{{\frac{1}{{\cos ^2 \frac{x}{2}}}}}{{3 + \tan ^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}\frac{1}{{\cos ^2 \frac{x}{2}}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}\frac{1}{2}\frac{1}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}\cos ^2 \frac{x}{2}}} $

Dan wordt de integraal uiteindelijk:

$ \int {\frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}\frac{1}{2}\frac{1}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}\cos ^2 \frac{x}{2}}}dx} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}d\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)} $

Uiteraard komt dit neer op die substitutie, maar valt nu niet uit de lucht.

$ \frac{2}{{\sqrt 3 }}\int {\frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)^2 }}d\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right)} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\tan \frac{x}{2}} \right) + C $

TD vind ik beetje moeilijk
Mathfreak heeft geholpen :) dank u allemaal!

Citaat:

Ske** schreef: (Bericht 26298064)

TD vind ik beetje moeilijk
Mathfreak heeft geholpen :) dank u allemaal!

Het enige dat hij doet is de integrand herschrijven, zodat hij geen inverse substitutie hoeft toe te passen maar een 'normale'.

Als je de (zogenaamde) "t-formules" kent (dit zijn de formules die mathfreak je gaf), is dat wellicht de snelste methode. Maar, ken je die niet, dan is het ook geen ramp. Ik wou maar tonen dat je er ook kan geraken zonder dat ''trucje" :)

Het ziet er misschien moeilijk uit, maar het is toch nuttig om proberen te begrijpen wat er gebeurt.