[WI] Statistiek vraagje
 

Een eenvoudige vraag, wellicht dat iemand mij hierbij kan helpen...

Er zitten N ballen in een bak. Van tevoren weet ik dat er drie mogelijkheden zijn:
(a) alle ballen zijn rood
(b) de helft is rood, de helft is blauw
(c) alle ballen zijn blauw

Ik wil graag weten wat de kans is op elke hypothese.
Daarvoor trek ik alle ballen uit de bak. Echter, terwijl ik de ballen er uit trek, heeft een bal een kans van E om van kleur te veranderen (rood->blauw of blauw->rood).

Wat ik vervolgens heb is een verzameling van N geobserveerde, eventueel van kleur veranderde ballen ballen, elke bal rood of blauw. Hoe kan ik de kans op elke bovenstaande hypothese berekenen?

Weet niemand dit? Wellicht toch wat lastiger dan ik op het eerste gezicht dacht...

Ik heb al een bijna-oplossing via Bayes rule:

Stel
a = blauwe ballen
b = rode ballen
n = a*b
h1 = hypothese dat alle ballen rood zijn
h2 = hypothese dat alle ballen blauw zijn
h3 = hypothese dat het half-of-half is
e = kans op wisselen van kleur

p(h1) = (1-e)^a * e^b * alpha
p(h2) = (1-e)^b * e^a * alpha

als a>b:
p(h3) = (a boven (a-.5n)) (1-e)^(b+.5n) * e^(a-.5n) * alpha
anders:
p(h3) = (b boven (b-.5n)) (1-e)^(a+.5n) * e^(b-.5n) * alpha

waarbij alpha een constante is, dus die kun je eruit werken door:

p(h1) = p(h1) / (p(h1)+p(h2)+p(h3))
p(h2) = p(h2) / (p(h1)+p(h2)+p(h3))
p(h3) = p(h3) / (p(h1)+p(h2)+p(h3))

...
het probleem hiermee is dat ik nu alleen de _korste weg_ bereken naar de hypotheses, oftewel de weg met het minste aantal fouten gecorrigeerd. Voor e<<0.05 is dit nog redelijk nauwkeurig, maar voor 0.05 vraag ik het me al af. Heeft iemand een betere oplossing?