[WI] bereik
 

Hoi,

Weet iemand hoe je het bereik van de volgende functie kan berekenen?

f(x) = ( 2 + 2ln(x))/x

Alvast bedankt!

Bepaal eventuele maxima en minima en bepaal de limieten voor x->0 en x->oneindig.

Omdat ln(x) voor reële x alleen bestaat voor x>0 ligt het voor de hand om in ieder geval x>0 te veronderstellen. Omdat f te schrijven is als vinden we voor de afgeleide de waarde . Voor een eventueel extreem moet dan gelden: 2*ln(x)=0, dus ln(x)=0, dus x=1. Voor 0<x<1 geldt: f'(x)>0 en voor x>1 geldt: f'(x)<0, dus f heeft een maximum f(1)=2. Dit geeft dus als het gevraagde bereik.

Volgens mij doe je dan ergens iets mis, mathfreak. Het bereik is volgens mij .

Als je de limiet naar 0 neemt, kom je op die - oneindig uit.

Om het geheel wat grafischer te maken, moet je maar in de bijlage kijken.

Ik heb het inmiddels aangepast. Even een opmerking: het is in Nederland niet gebruikelijk om een intervalnotatie met een oneindigheidssymbool toe te passen, vandaar dat ik de in Nederland gangbare notatie (in dit geval met een pijl naar links) heb gebruikt.

(dan moet je ook wel de 2 als gesloten interval aangeven)

Voor de duidelijkheid: voor zover ik weet, bestaan er in België twee notaties voor een interval:
[a,b] is een gesloten interval
]a,b[ of (a,b) is een open interval
]a,b] of (a,b] is een half-open interval (waar a het infimum is)
[a,b[ of [a,b) is een half-open interval (waar b het supremum is)
En a en b zijn dan elementen van de uitgebreide reële getallen (dus + en - oneindig zitten daar ook bij), waar dan bovendien de regel is dat de grens die een oneindigheid is, steeds open is (reden is min of meer de volgende: was ze gesloten, dan zat c = oneindig erbij en zat "c + 1" er dus niet meer bij; en iets correcter uitgedrukt: van een gesloten interval kan je een maximum/minimum nemen, van een (half)-open interval lukt dat niet en moet je het supremum/infimum nemen om een gelijkaardige waarde te hebben; van een interval met oneindig kan je ook geen maximum nemen, maar wel een supremum/infimum afhankelijk van of je +/- oneindig hebt natuurlijk).

(Ik gebruik trouwens steeds de vierkante haakjes-notatie; vermits het met ronde haakjes soms te verwarren valt met de coördinaten van een punt).

Ik heb het inmiddels aangepast.

@ILUsion: De notatie ]a,b[ voor een open interval wordt ook vermeld in mijn Schülerduden Mathematik I. Hier in Nederland gebruiken we in de schoolwiskunde de notatie met vierkante haken. Het is in Nederland verder gebruikelijk om het aan een kant onbegrensd zijn van een interval met een pijl naar links of rechts aan te geven.