[WI] Limiet
 

Komt iemand uit de volgende limiet?:

Limiet (2*x+1)/x^(3/2) * exp(-(1-2*x)^2/(2*x))
x->0+

Ik denk dat het iets met l'hospital is, maar ik kom er niet uit.
Er moet overigens 0 uitkomen.

Als je er met l'Hôpital niet uitkomt, kun je een Taylorexpansie van die e-macht proberen (als je weet hoe dat moet).

Of gewoon eerst de functie in de e-macht uitrekenen (je houdt iets over als -2x +2 -1/2x). Deze functie gaat naar -oneindig, dus de e-macht gaat naar 0. Het eerste stuk gaat wel naar +oneindig, maar een e-macht gaat sneller naar 0 dan dat eerste stuk naar oneindig. Misschien is dit overigens iets te kort door de bocht.

Dan zou je de taylor expansie rond x=0 willen lijkt me en die bestaat niet.

Die bestaat wel hoor, de McLaurinreeks (=Taylorreeks voor a = 0) is:


Maar die komt exact op 1 uit voor x = 0; maar in de limiet moet je wel de algemene term gaan gebruiken.

Dan ga je weliswaar een uitdrukking krijgen die in die exponent daarvan is.

Maar nu ik er eventjes over nadenk; die x = 0 is een essentiëel singulier punt van die functie, lijkt me zo op het eerste gezicht. Waardoor de omgeving daarvan nogal rare dingen kan gaan doen (als in: ik vraag me af of je er wel een limiet van zou kunnen nemen).

edit:

Ik heb mijn rekenmachine eventjes laten werken en die zegt dat hij op oneindig uitkomt.

Wat ik zelf gedeeltelijk uitgewerkt heb, om een beter idee te krijgen: je neemt het natuurlijk logaritme van die hele boel (ln ...), je past daarop rekenregels toe voor producten (maar best niet voor quotiënten)). Maar uiteindelijk gaat je exponentiële stuk voor problemen zorgen en naar oneindig gaan. e^(oneindig) doet dat ook, dus heb je een limiet die geen getal als uitkomst heeft.

Volgens maple (limit((2*x+1)/x^(3/2) * exp(-(1-2*x)^2/(2*x)),x=0,right); ) bestaat de rechterlimiet wel en is de waarde van deze limiet 0. De linkerlimiet geeft overigens oneindig*I.

Taylor rond y=(-(1-2*x)^2/(2*x))=0 wat jij voorstelt geeft bij mij rotzooi.



edit:
Let je er op dat het de rechterlimiet is?

Ah, ik zie het al: ik ben ergens op mijn rekenmachine haakjes vergeten, dan komt hij ook uit op 0.

Volgens mij moet je er echter wel komen door:

lim X = e^(lim ln X)
lim ln(X) = lim Ln(.../...) + A^2/B

Daarin gaat die Ln(.../...) geen problemen leveren als je die limiet zo uitrekent; die tweede term moet je zelf misschien maar eens nagaan (om uit te komen moet die - oneindig geven).

Je krijgt dan toch nog steeds Ln(.../...) = Ln ((2x+1)/x^(3/2)) en het limiet daarvan is oneindig. Je krijgt dan oneindig - oneindig = ?

Neen, dat deed ik eerst ook fout; en de tweede keer blijkbaar ook. Ik heb het nu niet nagerekend; maar:
lim Ln ( D / E ) = Ln ( lim ( D / E ) )
daarop de l 'hôpital en dan kom je iets met een wortel in uit
wortel van 0+, geeft ook gewoon 0+ en Ln(0+) = - oneindig
- oneindig - oneindig = - oneindig
e^(-oneindig) = 0+ = 0

Maar hiervan heb ik dus het narekenwerk niet gedaan allemaal.

Je mag l'hôpital niet toepassen op (2x+1)/x^(3/2) aangezien lim x->0+ (2x+1)=1 en l'hôpital is alleen toepasbaar als iets de vorm 0/0 of oneindig/oneindig heeft.

Expandeer alleen de e-macht, en laat de breuk gewoon staan.

Edit: Hmm, nu ik er nog eens naar kijk zou dat wel eens wat convergentieproblemen op kunnen leveren vanwege de breuk in de e-macht...

Oke dan mijn methode maar uitgewerkt, want het moet ook zonder l'Hôpital kunnen. Ik doe het even met een screenshot uit Word, aangezien het forum denk ik een andere versie van Latex gebruikt dan mathtype (en ik het dus niet kan copy pasten).

Als het fout is moet iemand het hier maar zeggen, maar ik zie niet veel wat er mis gaat.

Niet zozeer fout, maar waarom geldt lim x->oneindig x^(3/2) * exp(-x+2-2/x)=0 ?

Ja ik durf niet te zeggen waarom dat zo is. In ieder Calculus boek zal het bewijs wel staan.

Na wat googlen kwam ik op deze site uit: http://www.win.tue.nl/~sjoerdr/2DT01...dlimintser.pdf . Dit is een blad met standaardlimieten van de faculteit wiskunde van de Technische Universiteit Eindhoven. Je kan er dus wel vanuitgaan dat dit blad wat dit betreft klopt. Het is regel 11.

Ja regel 11 van dat blad met standaardlimieten is wel te bewijzen, gewoon a keer l'hopital toepassen. Alleen deze limiet is niet helemaal hetzelfde lijkt me, door de 1/x in de e-macht.

En als je de e-macht nu schrijft als e^(-x)*e^2*e^(-2/x)? De tweede term (van het product) is een constante en de derde term is 1 door de limiet. Wat dan overblijft is de standaardlimiet.

Dat is het inderdaad, ik dacht om de één of andere reden dat lim e^(-2/x) oneindig was, maar die is natuurlijk 1.
Bedankt voor de hulp :)

Graag gedaan :) .