[wi] Een paar vraagjes :)
 

Ik heb een vraagje :):

Hoe kan x^2/3 + y^2/3 =1 geparametriseerd worden?

Verder heb ik heb een paar vragen die naar mijn mening fouten in het antwoorden boek betreffen:

1. Lijnintegraal:
Evalueer de volgende intergraal P gerepresenteerd bij het parabolische pad (AOB) op y^2=x.

P= Integraal teken (x fx + y dy)

Antwoord = 0 integraal teken 1 x dx + 1 integraal teken # dx + 1 integraal teken -1 y dy = 0 + [y^2/2] met grenzen 1 en -1 = 0

Het antwoord bevatte natuurlijk geen paarse slot ;). Moet er op de plek van het paarse slot geen x staan?

2. Jacobian transformatie

Bij een ander vraag is de Jacobian 1 / 4(x^2 + y^2).

Echter later wordt er in de integraal 1/(x^2 + y^2) voor de Jacobian ingevuld.
Is dit een fout of is er een reden waarom die 4 wordt weggelaten?

3. Loodrechte coördinaten

Ik moet testen of de volgende coördinaten loodrecht zijn.

x= u/(u^2+v^2) en y = v/(u^2+v^2)

Voor loodrechte coördinaten geldt het volgende: (ik gebruik voor de typ makkelijkheid gewoon de d in plaats van dat rare symbooltje waarvan ik de naam niet weet :()

dx/du * dx/dv + dy/du*dy/dv = 0

Echter ik kom steeds bij andere antwoorden uit dan wat eruit zou moeten komen.

Als ik dx/du uitreken doe ik het volgende:
a/b = 1/b^2 * (b da/du - a db/du)

1/(u^2+v^2)^2 * ((u^2+v^2)- u*2u) = (u^2+v^2-2u^2) echter het antwoord moet zijn v^2-u^2/(u^2+v^2) :s

Doe ik iets fout :'(, of heb ik gelijk en staat het inderdaad fout in het antwoorden boek :).

Voor die parametrisatie zou het volgende niet werken:

Gelijkaardig aan de parametrisatie voor een cirkel dus :)

Wat de integraal betreft:

, daarin kunnen we niet veel met die oplossing gaan doen als we niet weten wat A en B zijn. Wel kan ik je al zeggen dat je die integraal best in 2 breekt (omdat je door O gaat, en dat vergemakkelijkt de parametrisatie).

Wat je Jacobiaan betreft:
Die 4 moet inderdaad meegenomen worden, maar misschien is die elders verdwenen met een 4 die er al stond...

Wat de loodrechte stand betreft:
Die twee moeten in ieder geval loodrecht op elkaar staan (dat zie je op het zicht al een beetje; en dat zegt mijn rekenmachine toch ook). Wat je echter NIET mag vergeten, is dat dat 'rare' symbooltje waarschijnlijk een partiële afgeleide is:



Daarbij moet je er dus op letten dat de partiële afgeleide van u naar x (of y), je enkel afleidt naar x (of y). In dit geval komt dat er dus tweemaal op neer dat je die quotiëntregel moet toepassen (als de variabele waarnaar je afleidt zowel boven als onder de breuk voorkomt). Anders de kettingregel (en machtsregel natuurlijk); daarvoor vorm je die breuk best om naar een product als
, daarin dus voor afleiden naar v, de machtsregel (voor -1), kettingregel (voor hetgene eronder staat).

Waarom geld die parametrisatie? Hoe kom je aan de 3 machten. Dit is toch niet gelijkwaardig aan de parametrisatie van een cirkel immers dat wordt gegeven door x(t) = r cost t en y(t) = r sin t.

Ik had de grenzen voor de integraal gegeven. Volgens mij ontbreekt er een x. Heb ik daarin gelijk of niet?

Voor de rest herhaal je enkel wat ik al gezegd heb en beantwoord je mijn vragen niet. Ik weet bijvoorbeeld wel waarom die formule die jij volledig schreef geld voor loodrechte coördinaten dus ik heb geen herhaling van de theorie nodig. Ik schreef enkel een d omdat ik niet wist hoe ik de partiële afgeleide op een forum moest typen. De d stond niet voor de normale d als in dx/dy.

Ik zal mijn vraag herformuleren waarom kan ik die afgeleide niet afleiden met de quotiënt regel? Werkt de de quotiënt regel niet voor partiële afgeleiden?

Ik had het in dat geval enkel naar u afgeleid, maar het probleem zal hem wel zitten in het feit dat de quotiënt regel niet geld voor partiële afgeleiden (ook niet als je daarin partiël afleid)

Waarom die parametrisatie geldt: vul eens en en bekijk wat je krijgt. Ik zei ook niet gelijkwaardig, maar gelijkaardig: zonder W dus. Lees het maar als 'analoog aan'. Om je erover te laten nadenken: waarom geldt die parametrisatie van een cirkel?

Voor die integraal: ik zie niet eens welk stuk van de parabool bedoeld wordt met AOB, dan kan ik ook niet narekenen wat het resultaat moet worden. Je bent volgens mij wel in diezelfde integraal een grens vergeten; lijkt me. En ik heb niet veel zin om achterstevoren te gaan knoeien. En al helemaal niet als je bijna mijn neus afbijt...

De quotiëntregel mag je trouwens wel gebruiken (ook voor partiële afgeleiden, vermits die geheel hetzelfde concept inhouden; behalve dan dat je andere variabelen beschouwt als constantes; bij een volledige afgeleide kom je nog extra termen tegen, maar die heb je hier niet nodig). Het probleem met de quotiëntregel is enkel dat je er vaak te veel mee wilt gaan afleiden en hoe meer werk, hoe meer kans op fouten. In 2 van die 4 afgeleiden is dat dus niet nodig (in de andere 2 wel uiteraard).

En nu ik je eerste post wat herlees: je oplossing bij die afgeleide is juist, maar nog niet ver genoeg uitgewerkt; best simpel: u² - 2u² = -u² (etc.) ... Maar dat van die quotiëntregel blijft gelden: spendeer geen tijd aan het uitwerken daarvan als het niet nodig is (je kan je er enkel mee vergissen, tijd mee verliezen en ga zo maar door).

Wat ik eigenlijk wil weten is hoe je zo'n parametrisatie kan opstellen :(? Welke regels zijn er voor het opstellen van een parametrisatie?

Dat als je het invult het klopt is vanzelf sprekend. Ik herken echter die parametrisatie niet als ik x^2/3 + y^2/3 =1 zie.

Gewoon nieuwsgierig hoeveelste jaars bachelor ben jij :)?

Een voor de hand liggende methode is door x(t)=(u(t))³ en y(t)=(v(t))³ te stellen. Als je dit invult in x^2/3+y^2/3=1 krijg je: (u(t))²+v(t))²=1. Kies je nu u(t)=cos(t) en v(t)=sin(t), dan weet je dat vanwege de eigenschap cos²(t)+sin²(t)=1 automatisch aan (u(t))²+v(t))²=1 voldaan wordt, dus je krijgt dan x(t)=cos³(t) en y(t)=sin³(t) als parametervoorstelling. De desbetreffende kromme die hier bij hoort wordt overigens een astroïde genoemd.

Ik zit in tweede bachelor; en ik ben trouwens allesbehalve een analyse(=calculus)-wonder.

Hoe je dat doet; tja, echte technieken ken ik er niet voor; maar je neemt bv. x = t en je ziet wat er uitkomt voor de rest. Bij deze zie je makkelijk dat het min of meer op een cirkel lijkt: x² + y² = r² is een cirkel en daarvan ken je de parametrisatie. Die parametrisatie pas je dan een beetje aan aan de situatie, je wilt dat het uitkomt, dus werk je een beetje terug en je probeert wat, hier was het vrij simpel door die derde machten erin te gooien, die worden weggewerkt door die derdemachtswortels zoals we graag hebben.

Voor lijnstukken bestaan er ook van die standaardparametrisaties.

Het komt er eigenlijk op neer om x= x(t) te stellen, waarbij je die x(t)-functie liefst zo simpel mogelijk houdt en dan y=y(t) opstellen (of omgekeerd). Er is ook niet 1 parametrisatie van een kromme; dus echt een methode bestaat er niet.

Wat vaak ook de moeite loont, is omschakelen van basis: i.p.v. in cartesische coördinaten dan overschakelen naar cilinder- of bolcoördinaten (daarvan ga je uiteindelijk ook wel de Jacobiaanse determinant vanbuiten kennen; vermits dergelijke transformaties bijna onmisbaar zijn).

Offtopic: Jullie laten mijn wiskunde zoo makkelijk lijken.. ik ga nooit meer zeuren :o (Ik zit in 6V en heb wiskunde B1,2)

Haha, deze vraagjes zijn opzich niet eens de moeilijkste :).

@ILUsion bedankt voor je hulp :)!

Ik heb bol en cilinder coördinaten wel gehad, maar ik heb het nog niet bestudeerd.
Dat is mijn lees en leerstof voor morgen samen met green en stokes :)

Ik herhaal even in mijn eigen woorden wat ik denk dat je zegt.

Je hebt een parametrisatie nodig die op 1 uitkomt. De formule lijkt enigzins op een cirkel dus je denkt aan cos t en sin t. De enige manier om daar 1 uit te krijgen is de volgende formule cos²(t)+sin²(t)=1. Je moet de gegeven formule dus zo aanpassen dat het uiteindelijk neerkomt op cos²(t)+sin²(t)=1.

2/3 macht moet naar -> 2 de enige manier om dit te doen is dit met 3 te vermenigvuldigen. Aldus wordt de parametrisatie x(t)=cos³(t) en y(t)=sin³(t) .

Is dit correct :D?

Bedankt voor je hulp Mathfreak :)!

Waarom verdwijnt de d cos(t) met deze integratie ? Ik zou juist denken dat d cos(t) Integreren op cos(t) uitkomt.

Dus als iemand mij kan helpen door de oplossing van deze integraal te geven + uitgebreide uitleg van de waarom zou ik erg dankbaar zijn :).

Edit: Best cool dat latex hier werkt :).

Hier scheelt toch iets... Ofwel is het d(cos(t)), ofwel dt, maar niet d(cos(t))dt...

Ik zal wel wat meer informatie geven :).

Het gaat hier om de lijn intergraal

Waarbij de lijn intergraal een halve cirkel is van r naar -r (0 naar Pi).

Hierop is de volgende parametrisatie uitgevoerd:
x(t) = r cos (t), y(t)= r sin(t) met r tussen 0 en Pi.

Dit wordt:


Wat weer wordt herschreven tot:


Wat gelijk is aan: (Deze stap snap ik dus niet!)

In de voorlaatste uitdrukking, moeten die dt's niet meer staan.

Net zoals:



Geldt ook:



Er gebeurt eigenlijk niet meer dan een substitutie.
In de eerste integraal: stel y = cos(t), in de tweede: stel y = sin(t).

Dus een klassiek geval van aantekeningen maken is moeilijk :(.

Bedankt voor je hulp td :).