Scholieren.com forum - [Wi] Stokes

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [Wi] Stokes (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1672111)

Anika

23-02-2008 14:27

[Wi] Stokes

Ik moet een integraal uitrekenen en ik kom er niet uit, dus ik hoop dat iemand me kan/wil helpen.
Ik moet de curl van een vector $\vec{v}=r\vec{\phi}$ integreren over een halve bol met straal R, waarvan de onderkant zich op het x-y-vlak bevindt. Het is de bedoeling om de integraal uit te rekenen zoals die hieronder staat, ik mag geen gebruik maken van de wet van Stokes of over een ander oppervlak integreren.

Het antwoord moet als het goed is $2\pi r^2$ zijn (weet ik niet 100% zeker). Zelf kom ik tot zo ver:

$\int_S curl(\vec{v}) d\vec{S}=\int_S -\frac{1}{r}*\frac{dr^2}{dr}*\vec{\theta} d\vec{S}=\int_S -2\vec{\theta} d\vec{S}$

Iemand enig idee hoe ik verder moet?

Global1

23-02-2008 15:25

Ik neem aan dat phi een eenheidsvector is. Ik denk dat het handig is als je die uitdrukt in normale cartetische eenheidsvectoren. Voordeel hiervan is dat de cartetische eenheidsvectoren constanst zijn terwijl die van sferische dat niet zijn.

Vervolgens, je weet dat je moet integreren over een halve bol met straal R. Dus oppervlak van zit er zo uit: $\vec{u}=R\sin{\phi} \cos{\theta} \vec{i}+R\sin{\phi}\sin{\theta} \vec{j}+R\cos{\phi}[/tex] met 0<phi <= 1\2pi en 0<theta<=2pi<br /> [tex]d\vec{S}=\vec{n} dS$
$dS= |\frac{\partial u}{\partial \phi} x \frac{\partial u}{\partial \theta} |$
$\vec{n}=\frac{\frac{\partial u}{\partial \phi} x \frac{\partial u}{\partial \theta} }{|\frac{\partial u}{\partial \phi} x \frac{\partial u}{\partial \theta} |}$
Nu moet het wel lukken?

Als een moderator mijn bericht wilt aanpassen zodat LaTeX werkt dan hebben we er nog iets aan.

mathfreak

23-02-2008 15:29

Citaat:

Global1 schreef: (Bericht 27087239)

Als een moderator mijn bericht wilt aanpassen zodat LaTeX werkt dan hebben we er nog iets aan.

Als je tex door latex vervangt in je bericht werkt LaTeX wel.

Global1

23-02-2008 15:57

Ok nog een keer dan, maar nu op een andere manier. (sneller denk ik)
Berkenen de rotatie van $v=R\vec{\phi}$ (dat is bij jou niet echt goed gegaan denk ik, rotatie van een vector is altijd opnieuw een vector) Maak gebruik van de laatste derterminant bij http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/curl.html

Als het goed is kom je dan uit op $\frac{R}{R \tan{\theta}} \vec{r}$
En voor je oppervlakte element $d\vec{S}=R^2 \sin{\theta} \ d \theta d \phi \vec{r}$
Neem de dot product en integreer over je oppervlak. (0 <phi>2pi en 0<theta<1/2Pi)

Global1

23-02-2008 16:15

Trouwens $\vec{r}$ is telkens de eenheidsvector.
En Mathfreak bedankt voor je tip;)

Anika

23-02-2008 16:41

Citaat:

Global1 schreef: (Bericht 27087397)

De rotatie die ik heb berekend is ook weer een vector hoor, namelijk $-2\vec{\theta}$ . Volgens de determinant in de link die je geeft klopt dat ook.
Dat oppervlakte-element ga ik eens proberen, ik hoop dat ik er zo wel uit kom! In ieder geval bedankt voor je antwoorden.

Global1

24-02-2008 15:04

Mag ik vragen welke hoeken phi en theta eigenlijk zijn. Ik gebruik ze zoals op dit plaatje:
http://nl.wikipedia.org/wiki/Afbeeld...oordinates.png

voor curl(v) moet je trouwens krijgen $\left[ \begin{array}{c} {\frac {\cos \left( \theta \right) }{\sin<br /> \left( \theta \right) }}\\-2\\0<br /> \end{array} \right] <br />$
Als je dan alles uitrekend kom je inderdaad uit op $2 \pi r^2$

$\nabla \times \vec{v}=\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}\hat{r}-2\hat{\theta}$

Alle tijden zijn GMT +1. Het is nu 11:49.