[WI] Irrationele getallen(?) Raaklijn met f(x)=e^x
 

f(x)=e^x
de raaklijn uit punt B(1,0) raakt f in punt C
Geef de coordinaten van C
Ik weet wel wat ik moet doen maar niet hoe, ik moet de raaklijn terugvinden aan de hand van B(1,0)
maar hoe, ik bne het kwijt.

Je raaklijn heeft voorstelling r(x) = ax + b.

Voor deze raaklijn geldt in punt x=C dat r(C)=f(C) en r'(C)=f'(C). (edit: ik bedoel hier dus de x-coordinaat van C)
Er geldt ook dat r(1) = 0.

Dit geeft je 3 vergelijkingen voor 3 onbekenden (a, b en C).

Wil je alsjeblieft uitwerking geven want ik heb het beetje nodig voor SE morgen, ondertussen probeer ik hem zelf nog even(y):D

Je weet dat r(1) = 0, dus a + b = 0, dus a = -b.

Je weet ook dat r'(Cx) = a = f'(Cx).

Meer hints ga ik niet geven. :nono:

f'(Cx)=f'(1)
dus a=e
r(1)=e*1+b=0
b=-e (=-a)
r(x)=ex-e
maar die lijn raakt f(x)=e^x voor geen meter :/
volgens mij zit ik dus bij eerste fout, maar geen idee wat dan te doen.
Ik zal er verder op mediteren.

Hier stel je bij voorbaat dat Cx = 1, dat lijkt me niet echt onderbouwd.

tja, ik zie het gewoon niet.
Wel jammer, net SE gehad en precies dit zat erin :/ Gelukkig wist ik de rest helemaal, maar toch...(verkapte beschuldiging :rolleyes::rolleyes: )

Stel eerst de vergelijking van de raaklijn door B op. Deze raaklijn heeft de vergelijking y=a*x+b. Omdat deze raaklijn door B gaat vinden we: 0=a+b, dus b=-a, dus de raaklijn heeft de vergelijking y=a*x-a. Omdat dit een raaklijn is moet gelden: f'(x)=a, dus e^x=a, dus x=ln(a). De raaklijn gaat dus door de punten B(1,0) en (ln(a),a), dus a=a*ln(a)-a, dus 2*a-a*ln(a)=0, dus a(2-ln(a))=0, dus a=0 of ln(a)=2. Omdat ln(a) alleen gedefinieerd is voor a>0 kan dus alleen gelden: ln(a)=2, dus a=e². De raaklijn heeft dus de vergelijking y=e²*x-e². Deze raaklijn raakt de grafiek van f in C. Er moet nu gelden: e²*x-e²=e^x en e²=e^x, dus x=2. Het gezochte punt C is dus het punt (2,e²).

Bedankt, en verder best wel lullig, de natuurlijke logaritme zat helemaal niet in dat hoofdstuk en hebben we nog niet gehad, dat is lekker dan :/